CSP-S 2025 游记 & 题解

游记

Day -?

初赛获得了 \(95\text{pts}\)，喜提 S > J。

Day -?

不报 J 组了。

Day -1

获得了 \(0(100)+10+0+0=10(110)\) 分。

感觉自己 \(rp\leftarrow rp+\infty\) 了，这就是信心赛吗！！！！111。

Day 0

复习了 KMP 和最小表示法，学了全源最短路和原根。

下午把 Two Avenues 调过了。

感觉要输了。

说了点 P 话。

发现讨论区变成 P 话区了，自愧不如，P 话水平还是太菜了。

Day 1

上午摆摆摆，说了点 P 话。

入场了，提前了 3 分钟开考，zip 解压了半天密码才输对。

看 T1，感觉不会啊。

如果没有限制怎么做，这不是傻逼吗？

加入限制怎么做，这不是傻逼吗？

会了。

看 T2，不知道是神奇建图，还是神奇 \(2^k\)。

玩了一下，不会神奇建图，所以是神奇 \(2^k\)。

生成树边集归并一下就行了。

看 T3。看成可以替换很多次，想了 \(10\text{min}\)。

发现看错了。然后想到了把 LCP 和 LCS 去掉，Hash 一下划分等价类。

等价类里怎么做，思考了大半天，不会了。

然后把划分等价类调出来了，尝试写一个哈希暴力，调不出来，生气了，遂改成 substr 直接比较。大样例飞快何意味？

看 T4，感觉做不出来，写了个阶乘。

废了，退役了。

出考场，发现 T3 在中间插入特殊字符就是我们的【模板】AC 自动机（简单版）。怒了。

想了一下 T2 好像有可能被卡成 \(80\text{pts}\)。

@oyoham 差点 AK 了，sto oyoham orz。

垫底了。没有厕所了。

水群，发现没有判 \(|t_1|\neq |t_2|\)，玉玉了。交到民间数据上，发现有 \(80 \text{pts}\)。不玉玉了。

无聊，花了不到 \(1\text{h}\) 速通了 J 组。

感觉大家都考得比我好，还是玉玉了。熬到凌晨一点发了一下颠。

策略总归有点问题。考场上心态还是很差啊。

得分是 \(100+[80,100]+[0,80]+8=[188,288]\)，随机分数这一块。

抛开【】不谈，难道这个 CSP-S 它就没有问题吗！！！

我想说：

我是彩笔。

题解

T1

如果没有各组人数 \(\leq\dfrac{n}{2}\) 的限制，每个人贪心选最大的那组就行了。

现在加入这个限制，考虑在原来贪心的基础上做调整。显然在原来的贪心策略中，至多有一组不合法。考虑把这一组超出的部分移到其他组里去，然后我们发现这样另外两组一定还满足限制，所以把超出限制的那一组中的所有数，按最大值减次大值排序，贪心选即可。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log{n})\)，可以用 nth_element 做到 \(\mathcal{O}(n)\)。

T2

重要的观察是，计算两个边集的并的生成树，只用保留两个边集各自生成树的对应边集。

\(2^k\) 枚举子集，对每个状态维护对应生成树，枚举到 \(S\) 的时候把其 \(\operatorname{lowbit}\) 对应的元素 \(x\) 的 \(n\) 条边和 \(S-\{x\}\) 的生成树的 \(n-1\) 条边放一起归并跑 Kruskal，时间复杂度是 \(\mathcal{O}(m\log{m}+2^kn\alpha(n)+kn\log{n})\)。

T3

对于每个字符串二元组 \((s_1,s_2)\)，考虑把它们的 LCP 和 LSP 去掉，剩下中间部分变成 \((mid_1,mid_2)\)。对所有 \(s,t\) 都这样做，可以发现，对于一组询问 \((t_1,t_2)\)，可能的替换串 \((s_1,s_2)\) 对应的 \(mid\) 二元组一定和 \((t_1,t_2)\) 的相同。使用 Hash 按照 \((mid_1,mid_2)\) 划分等价类。对每个等价类分开做，设 \(t_{i,1},t_{i,2}\) 的 LCP 和 LCS 分别为 \(pret_i,suft_i\)，\(s_{i,1},s_{i,2}\) 的分别为 \(pres_i,sufs_i\)，那么一个询问相当于求有多少 \(j\) 满足 \(pres_j\) 是 \(pret_i\) 的后缀，且 \(sufs_j\) 是 \(pres_i\) 的前缀。

赛时想到这里就不会了。事实上，我们只需要在 \(pre,suf\) 之间插入特殊字符，那问题就直接变成了求有多少模式串是给定文本串的子串。直接上 AC 自动机就可以做到 \(\sum|t_i|+|\Sigma|\sum|s_i|\)。

T4

往 DP 上想，我们的状态里大概要有 \(f_{i,j}\) 表示考虑 \(p_{1\sim i}\)，有 \(j\) 个人失败的方案数，但这样似乎还要状压维护失败的人的集合，死完了。

我们考察一个人一定会失败的条件：若 \(s_i=0\)，则所有人一定失败；若 \(s_i=1\)，则 \(c_i\leq j\) 的人一定失败。这启发我们把人划分成 \(c_i\leq j\) 和 \(c_i>j\) 的集合，然后贡献延后计算，在每次 \(j\rightarrow j+1\) 时，会有一部分人从 \(c_i>j\) 的集合移动到 \(c_i\leq j\) 的集合，我们在这时候乘上这些人的方案数贡献。

令 \(f_{i,j,k}\) 表示考虑 \(p_{1\sim i}\)，有 \(j\) 个人失败，有 \(k\) 个人的 \(c_i>j\) 的方案数。设 \(buc_i=\sum\limits_{j=1}^n[c_j=i]\)，\(pre_i=\sum\limits_{j=0}^ibuc_j\)，我们分类讨论，刷表转移：

• \(s_i=0\)：此时所有人都会失败，\(j\) 一定会 \(+1\)，枚举 \(p_{1\sim i-1}\) 的 \(k\) 个未确定的人中有 \(t\) 个人满足 \(c=j+1\)：
  • \(c_i>j+1\)：这种 case \(p_i\) 会使得 \(k\) 加 \(1\)，于是
    \[f_{i,j,k}\binom{buc_{j+1}}{t}k^{\underline{t}}\rightarrow f_{i+1,j+1,k-t+1} \]

  • \(c_i\leq j+1\)：这种 case 要乘上选 \(p_i\) 的方案数，也就是
    \[f_{i,j,k}\binom{buc_{j+1}}{t}k^{\underline{t}}(pre_{j+1}-(i-(k-t)))\rightarrow f_{i+1,j+1,k-t} \]

• \(s_i=1\)：
  • \(c_i>j\)：\(f_{i,j,k}\rightarrow f_{i+1,j,k+1}\)
  • \(c_i\leq j\)：这种 case \(j\) 会 \(+1\)，还要乘上选 \(p_i\) 的方案数，仿照前面的转移，枚举 \(p_{1\sim i-1}\) 的 \(k\) 个未确定的人中有 \(t\) 个人满足 \(c=j+1\)：
    \[f_{i,j,k}\binom{buc_{j+1}}{t}k^{\underline{t}}(pre_j-(i-k))\rightarrow f_{i+1,j+1,k-t} \]

注意到 \(t\) 是 \(\mathcal{O}(buc_{j+1})\) 量级的，所以对于固定的 \(i,k\)，枚举所有 \((j,t)\) 是整体 \(\mathcal{O}(n)\) 的，于是整个 DP 时间复杂度是 \(\mathcal{O}(n^3)\) 的。