随笔分类 - 数学
摘要：题目链接:Click here Solution: 首先我们来证明一个引理：对于所有的$n$来说，必然在$[n,2n]$间存在一个完全平方数$k$ 我们不妨令$t=\lceil\sqrt n\rceil$，我们来证明不等式：$n\le t^2\le2n$ 不等式左边是显然成立的，考虑证明不等式的右边
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摘要：题目链接：Click here Solution: 不妨先对A进行分解质因数，$A=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2} \times \dots \times p_n^{c_n}$ 那么$A^B=p_1^{c_1\times B}\times p_2^{c_2\times B} \t
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摘要：题目链接： "Click here" Solution: 容易得到这样一个$dp$，设$f[i][j]$表示已经选了$i$个数，乘积$mod \,\,m$后为$j$的方案 $$ f[2\times i][j]=\sum_{a\times b\equiv j\,\,(mod\,\, m)} f[i][
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摘要：题目链接： "Click here" Solution: 这道题就考你会不会扩展欧拉定理，根据扩展欧拉定理可知 $$ a^b \equiv a^{(b\,mod\,\varphi(p))+\varphi(p)} \,(mod\,p)，b \varphi(p) $$ 本题利用扩展欧拉定理，显然可得一个
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摘要：$$ f(n)=\sum_{i=0}^n{n\choose i}g(i) \iff g(n)=\sum_{i=0}^n( 1)^{(n i)}{n\choose i} f(i) $$ 证明如下： $$ g(n)=\sum_{i=0}^n( 1)^{n i}{n \choose i} \sum_{j=
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摘要：题目链接： "Click here" 题目大意：现在有一个至多11项的多项式$F(x)$，你可以询问至多50个$x$，黑盒子会告诉你$F(x)$的值，你现在要找到一个$x$使得$F(x)=0$ Solution: 考虑拉格朗日插值多项式的式子： $$ F(x)=\sum_{i=0}^n(\prod_
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摘要：简介： 数学上，高斯消元法（英语：Gaussian Elimination），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个行梯阵式。 以上引自维基百科。。。 原理： 我们可以把一个$n$元$1$次方程表示成一个$n$
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摘要：T1 题目意思：给定一个01串，你可以进行区间异或操作，最少用几次能让这个串完全相同 数据范围：$n\le 1e7$ Solution: $f[i]$表示全变成1的最小操作数，$g[i]$表示全变成0，输出min值 Code: cpp include define int long long usi
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摘要：题目链接: "Click here" 题目大意：求一个数分解质因数后的最小幂指数 Solution： 首先，我们肯定是不能直接暴力求解的 我们先考虑筛出1e4范围以内的所有质数，把x所有这个范围内的质因子筛掉 那么现在它的数值范围就变成了1e14了，考虑此时他还存在没有被筛掉的质因子的情况 因为我们
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摘要：Problem Description Farmer John keeps a website called ‘FansBlog’ .Everyday , there are many people visited this blog.One day, he find the visits has
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摘要：用途： 一般用来求$a^x\equiv b\,\,(mod\,p)$的最小正整数解，其中gcd(a,p)=1 设$u=\lceil sqrt(p)\rceil$，则式子可以转化为$a^{iu j}\equiv b\,\,(mod\,p)$，其中$i\in[1,u],j\in[0,u)$ 于是$a^{
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摘要：题目链接： "点这里" Solution: 我们推导一下，不难得出它让我们求的东西，我们可以发现杀死所有的随从需要$m+1$张亵渎 设$S(x)=\sum_{i=1}^x i^{m+1}$，则题目要求的答案计算式为： $$ F(x)=\sum_{j=0}^m \sum_{i=j+1}^{m+1}S(
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摘要：题目链接： "点这里" 题目意思：令f(x)表示 define int long long using namespace std; const int mod=998244353; const int N=1e6+1; int l,r,k,u,ans,pro,f[N],fac[N]={1}; in
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摘要：题目链接： "点这里" Solution: 把两个手镯都增加亮度，可以看做只增加一个手镯的亮度，设增加的亮度为x 则我们要求的是$\sum_{i=1}^n(a_i+x b_i)^2$的最小值，我们把它拆开： $$ \sum_{i=1}^n{a_i^2+b_i^2+2a_ib_i+x^2+2x(a_i
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摘要：题意：给你N个数字，每次利用这N个数字中最多两个数字进行加法运算，来得到目标中的M个数字。 Solution: 我们先来看看多项式乘法：$A(x)=\sum_{i=0}^{n 1}a_ix^i$，$B(x)=\sum_{i=0}^{n 1}b_ix^i$，$C(x)=A(x)B(x)$ $$ c_k
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摘要：题意：给定序列a,b,求序列c,$c(k)=\sum_{i=k}^{n 1}a(i)b(i k)$ Solution: $$ c(k)=\sum_{i=k}^{n 1}a(i)b(i k)\\ c(k)=\sum_{i=0}^{n k 1}a(i+k)b(i)\\ 设ar(i)=a(n i 1)\\
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摘要：Description 监狱有连续编号为1...N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果 相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱 Solution 正难则反，考虑容斥解题 总方案数为$m^n$，不发生冲突的方案数为$m(m 1)^{
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摘要：组合数的一些性质 $$ C_n^m=\frac{n!}{(n m)!m!}\\ C_n^m=C_n^{n m}\\ C_n^m=C_{n 1}^{m 1}+C_{n 1}^m\\ C_{m+r+1}^{r}=\sum_{i=0}^rC_{m+i}^i\\ $$ $$ C_n^mC_m^r=\frac
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摘要：快速幂的思想就是将幂指数转化为2进制再来运算 例子：$a^5\,\,\,\,5=101\,\,\, a^5=a^1 a^4$ 时间复杂度$O(log_2 n)$ Code:
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