高斯消元学习笔记

简介：

数学上，高斯消元法（英语：Gaussian Elimination），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个行梯阵式。

以上引自维基百科。。。

原理：

我们可以把一个\(n\)元\(1\)次方程表示成一个\(n\)行\(n+1\)列的矩阵

矩阵前\(n\)列为系数矩阵，第\(n+1\)列为值，我们可以先举一个例子

\[\begin{cases} \ x+3y+4z=5\\ \ x+4y+7z=3\\ \ 9x+3y+2z=2 \end{cases} \Longrightarrow \left|\begin{array}{cccc} 1& 3& 4& 5\\ 1& 4& 7& 3\\ 9& 3& 2& 2 \end{array}\right| \]

然后我们依次对每一个未知数进行消元，然后得出答案，消元的方法就是加减消元和代数消元

这两种方法应该是初中就讲了的把。。。就不再赘述

算法流程：

我们每次对于要消去的未知数，找到他系数最大的那一个方程(减少精度误差)

我们把这个方程的系数化为1，然后通过这个等式消去其他等式里的这个未知数

重复这个过程，直到只剩下最后一个未知数，此时我们就已经知道了这个未知数的值

然后我们再把值带回到方程组，依次得到其他未知数的解(所以高斯消元其实就是一个模拟)

Code:

高斯消元模板题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=111;
const int eps=1e-12;
int n;
double mp[N][N],ans[N];
signed main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
            scanf("%lf",&mp[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++){int u=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(fabs(mp[u][i])<fabs(mp[j][i])) u=j;
        if(fabs(mp[u][i])<=eps) return puts("No Solution"),0;
        if(i!=u) swap(mp[i],mp[u]);
        double base=mp[i][i];
        for(int j=i;j<=n+1;j++) mp[i][j]/=base;
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            base=mp[j][i];
            for(int k=i;k<=n+1;k++)
                mp[j][k]-=base*mp[i][k];
        }
    }ans[n]=mp[n][n+1];
    for(int i=n-1;i;i--){
        ans[i]=mp[i][n+1];
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            ans[i]-=mp[i][j]*ans[j];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.2lf\n",ans[i]);
    return 0;
}