传送门

T4. 搬砖

给定 \(n\) 个非负整数 \(a_i\)，每次可以花费 \(1\) 的代价使得一个数字加 \(1\) 或者减 \(1\)（不能被减到负数），问最少需要多少代价使得所有数字的异或值为 \(0\) 。

要求多测

限制：

  • 对于 \(5\%\) 的数据：\(n=2, a_i \leqslant 10^9\)
  • 对于另外 \(10\%\) 的数据：\(n \leqslant 5\)，\(a_i \leqslant 30\)
  • 对于另外 \(15\%\) 的数据：\(n \leqslant 15\)，\(a_i \leqslant 10^3\)
  • 对于另外 \(20\%\) 的数据：\(n \leqslant 8\)，\(a_i \leqslant 10^9\)
  • 对于另外 \(15\%\) 的数据：\(n \leqslant 10\)，\(a_i \leqslant 10^9\)
  • 对于所有数据：\(1 \leqslant T \leqslant 6, 1 \leqslant n \leqslant 15, 0 \leqslant a_i \leqslant 10^9\)

参考难题：蓝

算法分析

下文中，假定 \(m = \max(a_i)\)

\(5\) 分：

此时 \(n = 2\)，问题变为了使得两数相等的最小代价，输出两数的差值即可。

\(15\) 分（另外 \(10\%\) 的数据）：

此时 \(n \leqslant 5\)，\(a_i \leqslant 30\)，考虑直接 \(dfs\) 暴力枚举每个 \(a_i\) 的最终取值 \(a_i'\)，那么对于每一种情况所需要付出的代价就是 \(|a_i - a_i'|\) 之和，即 \(\sum |a_i - a_i'|\) 。取所有情况中的最小代价即可，时间复杂度为 \(O(m^n)\) 。

\(30\) 分（另外 \(15\%\) 的数据）：

此时 \(n \leqslant 15\)，\(a_i \leqslant 10^3\)，原问题是“使得 \(n\) 个数字的异或值为 \(0\)”，那么当我们枚举了 \(a_n\) 的最终取值 \(a_n'\) 之后，问题变为了“使得前 \(n-1\) 个数字的异或值为 \(a_n'\)”。不难发现这是一个子问题，因此可以考虑动态规划。

定义 dp[i][j] 表示使得前 \(i\) 个数字的异或值为 \(j\) 的最小代价，枚举 \(im, j\) 后，再枚举 \(k\) 表示当前第 \(i\) 个数字的最终取值，那么可以得到转移方程：

\[dp[i][j] = \min(dp[i][j], dp[i-1][j \oplus k] + |a_i-k|) \]

最终的答案为 \(dp[n][0]\)，总时间复杂度为 \(O(nm^2)\) 。