排列的环分解

  • 单次交换操作的效果：
    • 当交换元素属于不同环时 \(\to\) 合并两个环
    • 当交换元素属于同一个环时 \(\to\) 将该环分裂为两个
  • 由于所有环的长度之和为 \(N\)，且每个环长度均为正整数，因此不同的环长度数量最多只有 \(O(\sqrt{N})\) 种

位运算

定义 LSB(w) 表示值 \(k\)，满足 \(w\) 的最低有效位是第 \(k\) 位

  • \(LSB(w_1w_2) = LSB(w_1) + LSB(w_2)\)

期望

  • 对于非负整型随机变量的期望问题，除了考虑“恰好等于”对应的概率外，还可以考虑“不小于”对应的概率。

常用组合恒等式

范德蒙卷积：

\[\sum\limits_{i=0}^k \binom{n}{i}\binom{m}{k-i} = \binom{n+m}{k} \]

朱世杰恒等式：

\[\sum_{i=l}^r \binom{i}{k} = \binom{r+1}{k+1} - \binom{l}{k+1} \]