摘要：在面积为$1$的$\triangle ABC$中,$a,b,c$为角$A,B,C$所对的边,则$\dfrac{b^2(1+\cos A)(1+\cos C)}{1 \cos B}$的最小值为$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析: 法一 $\qquad$记所求表达式为$M$,则
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09 2019 档案
摘要：已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx$有两个极值点$x_1,x_2$,且$x_1 记三次函数的极小值点为$x_3$，则$$x_1+x_3= \dfrac{2b}{3a}.$$ 另一方面$f(x)=M=f(x_1)$得$$a(x^3 x_1^3)+b(x^2 x_1^2)+c(x x_1)=0,
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摘要：在等腰$\triangle ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,其中$B$为钝角,且$b $$\sqrt{3}a\sin A$$=b$$\cos 2A$,点$D$与点$B$在直线$AC$的两侧,且$CD=3AD=3$,则$\triangle BCD$的面积的最大值是$(\qqu
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摘要：在$\triangle ABC$中,若$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=4\cos C$,$\cos (A B)=\dfrac{1}{6}$,则$\cos C=\underline{\qquad\qquad}$. 解析: 法一 由题有$$ \cos C=\dfrac{a^2+b^
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摘要：在$\triangle ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别是$a,b,c$,若$a$$=$$1$,且$BC$边上的高等于$\tan A$,则$\triangle ABC$ 的周长的取值范围为$\underline{\qquad\qquad}$. 解析: 由题,不妨设$c\geqslant b$
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摘要：已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}(a b 0)$ 的左右焦点分别为为 $F_1,F_2,$ 过 $F_1$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点. 若 $\overrightarrow{AF_1}=\dfrac{4}{7}\overrig
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摘要：已知函数 $f(x)=\begin{cases} x\mathrm{e}^x,x\leqslant 0,\\ x^2+3x,x 0, \end{cases}$ $g(x)=\begin{cases} f(x),x\leqslant a,\\ 2x+4,x a. \end{cases}$ 若函数 $g
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摘要：数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$,$a_{n+2}=a_{n+1} a_n(n\in\mathbb{N}^\ast)$,则$S_{2016}=\underline{\qquad\qquad}$. 解析: 记$a_2=a$,则$\{a_n\}$中的各项依次为$$ 1,a,a 1, 1, a,1
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摘要：圆周上有$20$个点,过任意两点连结一条弦,这些弦在圆内的交点最多只能有$(\qquad)$个 $\mathrm{A}.9690\qquad $ $\mathrm{B}. 4845\qquad $ $\mathrm{C}. 5726\qquad$ $\mathrm{D}. 1615$ 解析: 任意一
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摘要：已知椭圆 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左焦点为 $F( 1,0)$, 求过 $F$ 的动弦 $AB$ 的中点轨迹方程. 解析: 设动弦 $AB$ 的中点坐标为 $M(m,n)$, 则由椭圆的中点弦方程可得直线 $AB$ 的方程可表示为 $$ \dfrac12mx+ny=\dfra
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摘要：设$\left(\sqrt{10}+3\right)^{2n+1}(n\in\mathbb{N})$的整数部分和小数部分分别为$a,b$,则$\left(a+b\right)b$的值是$\underline{\qquad\qquad}.$ 解析: 考虑引入共轭因子,记$$(A,B)=\left(\l
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摘要：对操场上编号为 $1\sim 100$，全部面向主席台的学生依次进行以下操练：凡是编号为$1$的倍数的学生向后转一次；凡编号为 $2$的倍数的学生再向后转一次；凡编号为$3$的倍数的学生再向后转一次；$\cdots$；凡编号是$100$的倍数的学生再向后转一次．经过这$100$轮操作后，最后面向主席
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摘要：已知函数 $f: \{1,2,3\}\to \{1,2,3\}$ 满足 $f(f(x))=f(x)$, 则这样的函数有$\underline{\qquad\qquad}$个. 解析: 设 $\{A,B,C\}=\{1,2,3\}$, 则 $A$ 可表示集合 $\{1,2,3\}$ 中任一元素, 又$
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摘要：等边 $\triangle ABC$ 中, $AD,AE$ 为 $\angle BAC$ 的三等分线, $F$ 为 $AE$ 中点, 连接 $BF$ 交 $AD$ 于点 $G$, 连接 $GE$, 求证: $GD=DE$. 解析: 法一 考虑选定一组边长作为"基底"', 设 $(AD,BD,DE)=
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摘要：在$\triangle ABC$中,点$D$在线段$BC$上,且满足$\overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}$,过点$D$的直线分别交直线$AB$,$AC$于不同的两点$M$,$N$,$\overrightarrow {AM}=m\ov
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摘要：已知数列 $\{a_n\}$ 满足, $a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1$, $n\in\mathbb{N}^\ast$. $(1)$ 求 $\{a_n\}$ 的通项公式. $(2)$ $\{ b_n\}$ 满足 $4^{b_1 1}\cdot 4^{b_2 1} \cdots 4^{b_n
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摘要：已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a b 0)$ 的长轴长为 $2\sqrt{2},$ 焦距为 $2,$ 抛物线 $M:y^2=2px(p 0)$ 的准线经过 $C$ 的左焦点 $F.$ $ (1) $ 求 $C$ 与 $M$ 的方程 $ ; $
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摘要：已知点 $P(3,1)$, 圆 $C: (x 1)^2+(y 2)^2=4$. $(1)$ 求过点 $P$ 的圆 $C$ 的切线方程$;$ $(2)$ 若圆 $C$ 上的两点 $M,N$ 关于直线 $l: x+my+1=0$ 对称, 且 $\overrightarrow{OM}\cdot \over
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摘要：已知关于 $x$ 的方程 $x^2\ln x=a\ln a a\ln x$ 有 $3$ 个不同的实根，求 $a$ 的取值范围． 解析: 原题即关于 $x$ 的方程 $\ln x \dfrac {a\ln a}{x^2+a}=0$ 有三个不同的实根．记 $$ f(x)=\ln x \dfrac {a\
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摘要：在 $\triangle ABC$ 中, $\sin \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, 点 $D$ 在线段 $AC$ 上, 且 $AD=2DC$, $BD=\dfrac{4\sqrt3}{3}$, 则 $\triangle ABC$ 的面积的最大
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摘要：已知函数 $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{ax}}{a}+x 2{\ln}(x+1)$ $( $ $\mathrm{e}$ 为自然对数的底数, $a$ 为常数, 且 $a\neq 0$ $)$ $(1)$ 若函数在 $x=1$ 处的切线与直线 $\mathrm{e}x y=0$ 平
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摘要：已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ $(a b 0)$ 的左右焦点分别为 $F_1( c,0)$, $F_2(c,0)$, 动弦 $AB$ 过左焦点, 若 $\left| \overrightarrow{F_2A} \overrightarrow{F
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摘要：点 $A$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a b 0)$ 的右顶点, 若椭圆上存在异于端点的点 $P$ 使得 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PA}=0$, 则该椭圆的离心率的取值范围为$\und
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摘要：已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a b 0)$ 半焦距为 $c$, 原点到经过 $(c,0),(0,b)$ 的直线距离为 $\dfrac12 c$. $(1)$ 求椭圆 $E$ 的离心率; $(2)$ 如图 $AB$ 是圆 $M: (x+2)^
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摘要：已知点 $P(x_0,y_0)$，$x_00$ ，求证：若过点 $P$ 作抛物线的两条切线 $PA,PB$ 互相垂直，则 $P$ 点在抛物线准线上，其中 $A,B$ 两点为切点． 解析: 根据题意设过点 $P$ 的直线斜率的倒数为 $m$，则直线 $PA,PB$ 可统一表示为 $$ x=m(y y_
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摘要：已知数列 $ {a_n} $ 满足: $ a_1=\dfrac{1}{3}$, $a_{n+1}=(1 a_n)\sin a_n$, $n\in\mathbb{N}^\ast. $ 求证: $ (1) $ $ 0\dfrac{2}{n+2}, n\in\mathbb{N}^\ast. $ 解析 $
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摘要：记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 已知 $2S_n a_n+1=n(a_n+1),$ 且 $a_2=5.$ 若 $m \dfrac{S_n}{2^n},$ 则实数 $m$ 的取值范围为$\underline{\qquad\qquad}$. 解析: 由题 $$ \begi
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