在面积为\(1\)的\(\triangle ABC\)中,\(a,b,c\)为角\(A,B,C\)所对的边,则\(\dfrac{b^2(1+\cos A)(1+\cos C)}{1-\cos B}\)的最小值为\(\underline{\qquad\qquad}.\)
解析:
法一 \(\qquad\)记所求表达式为\(M\),则由余弦定理有$$
\begin{split}
M&=\dfrac{b^2\cdot \left(1+\dfrac{b2+c2-a^2}{2bc}\right)\cdot \left(1+\dfrac{a2+b2-c2}{2ab}\right)}{1-\dfrac{a2+c2-b2}{2ac}}\
&=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\left[\left(b+c\right)2-a2\right]\left[\left(a+b\right)2-c2\right]}{\left[b2-\left(a-c\right)2\right]}\
&=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2\
&\geqslant 6\sqrt{3}.
\end{split}$$
当且仅当\(\triangle ABC\)为正三角形时,上述不等式取等,因此\(M\)的最小值为\(6\sqrt3\).
法二\(\qquad\)记待求表达式为\(M\),则$$
\begin{split}
M&=\dfrac{b^2\left(1+\cos A\right)\left(1+\cos C\right)}{\dfrac{1}{2}bc\sin A\left(1-\cos B\right)}\
&=2\cot \dfrac{A}{2}\cot\dfrac{B}{2}\cot\dfrac{C}{2}.
\end{split}$$
由于我们熟知三角恒等式$$\cot\dfrac{A}{2}\cot\dfrac{B}{2}\cot\dfrac{C}{2}=\cot\dfrac{A}{2}+\cot\dfrac{B}{2}+\cot\dfrac{C}{2}.$$因此$$
\cot \dfrac{A}{2}\cot\dfrac{B}{2}\cot\dfrac{C}{2}\geqslant 3\sqrt[3]{\cot \dfrac{A}{2}\cot\dfrac{B}{2}\cot\dfrac{C}{2}} .$$因此$$M\geqslant 2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}.$$
当且仅当\(A=B=C=\dfrac{\pi}{3}\)时,\(M\)取得最小值\(6\sqrt3\).
