已知点 \(P(x_0,y_0)\)，\(x_0<0\)，与抛物线方程 \(y^2=2px,p>0\) ，求证：若过点 \(P\) 作抛物线的两条切线 \(PA,PB\) 互相垂直，则 \(P\) 点在抛物线准线上，其中 \(A,B\) 两点为切点．
解析: 根据题意设过点 \(P\) 的直线斜率的倒数为 \(m\)，则直线 \(PA,PB\) 可统一表示为
$$ x=m(y-y_0)+x_0,$$ 将直线方程与抛物线方程联立消去 \(x\) 可得
$$y^2-2pmy+2p(my_0-x_0)=0,$$ 由于直线与抛物线相切，所以以上关于 \(y\) 的一元二次方程的判别式为 \(0\)，即
$$\Delta=4p2m2-8p(my_0-x_0)=0.$$ 即得关于 \(m\) 的一元二次方程$$pm^2-2my_0+2x_0=0,$$ 若分别记切线 \(PA,PB\) 斜率的倒数为 \(m_1,m_2\)，由于两切线互相垂直，所以
$$m_1\cdot m_2=-1,$$ 因此由韦达定理可得$$m_1m_2=\dfrac{2x_0}{p}=-1,$$ 所以$$x_0=-\dfrac p2.$$因此点 \(P\) 在抛物线的准线上．
