树的重心
性质
- 删去后剩下的连通块大小不超过原树节点数的一半
- 删去后剩下的连通块大小的最大值最小
- 所有点到其距离和最小
这三个性质是重心的等价定义。 - 当节点数为奇数时树的重心只有一个，节点数为偶数时最多有两个，若有两个则两个相邻。
- 将两棵树用一条边相连，新树的重心在两颗原树重心的路径上。
- 添加或删除一个叶子，重心最多移动一条边的距离，添加时最多向所加叶子方向移动一条边的距离。
- 对于有根树：重心一定在根节点所在重链上，一棵树的重心一定是根节点重儿子的子树的重心的祖先。
- \(u\) 为根的子树，其重心一定是其到其重子树重心链上深度最大的，满足 \(2sz_v \ge sz_u\) 的 \(v\)。
性质 \(4 \sim 8\) 都可以通过性质 \(1 \sim 3\) 得到。
求法：dfs 记录子树大小，或者换根 DP 找到和所有点距离之和最小的点。
例题
CF685B
可以从每一颗子树的重心向上找，每个点最多判断一次，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。
namespace Loop1st {
int n, Q, ans[N], sz[N], fa[N], mx[N];
vector<int>e[N];
void dfs(int u) {
sz[u] = 1; ans[u] = u;
for (int v : e[u]) {
dfs(v);
sz[u] += sz[v];
mx[u] = max(mx[u], sz[v]);
}
for (int v : e[u]) {
int x = ans[v];
while (x != u) {
if (max(mx[x], sz[u] - sz[x]) <= (sz[u] >> 1)) { ans[u] = x; break; }
else x = fa[x];
}
}
}
void main() {
cin >> n >> Q;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
cin >> fa[i];
e[fa[i]].push_back(i);
}
dfs(1);
while (Q--) {
int u; cin >> u;
cout << ans[u] << '\n';
}
}
}
根据性质 \(8\) 也可以得到一个做法，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。
namespace Loop1st {
int n, Q, ans[N], sz[N], fa[N], son[N];
vector<int>e[N];
void dfs(int u) {
sz[u] = 1;
for (int v : e[u]) {
dfs(v);
sz[u] += sz[v];
if (sz[v] > sz[son[u]]) son[u] = v;
}
if (!son[u]) { ans[u] = u; return ; }
ans[u] = ans[son[u]];
while ((sz[ans[u]] << 1) < sz[u]) ans[u] = fa[ans[u]];
}
void main() {
cin >> n >> Q;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
cin >> fa[i];
e[fa[i]].push_back(i);
}
dfs(1);
while (Q--) {
int u; cin >> u;
cout << ans[u] << '\n';
}
}
}
CF708C
考虑一个点的所有子树（包括外面的子树），若有一个 \(> n/2\) 的子树（显然至多只有一个），那么可以考虑把这个子树里的某一棵 \(sz \le n/2\) 的子树割掉，挂在 \(u\) 上。
直接考虑比较困难，考虑一个 trick: 把原树的一个重心作为根，那么每个点原来的子树都 \(\le n/2\)，于是只要考虑外子树，那么记外子树中的 \(sz \le n/2\) 且最大的子树大小为 \(cut_u\)，判断 \(n - sz_u - cut_u\) 是否 \(\le n/2\) 即可。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。
namespace Loop1st {
int n, cg, fa[N], sz[N], cut[N], f[N][2], ans[N];
vector<int>e[N];
void dfs1(int u) {
sz[u] = 1;
int mx = 0;
for (int v : e[u]) if (v != fa[u]) {
fa[v] = u;
dfs1(v);
sz[u] += sz[v];
mx = max(mx, sz[v]);
}
if (max(mx, n - sz[u]) <= (n >> 1)) cg = u;
}
void dfs2(int u) {
sz[u] = 1;
for (int v : e[u]) if (v != fa[u]) {
fa[v] = u;
dfs2(v);
sz[u] += sz[v];
if (sz[v] > (n >> 1)) continue;
if (sz[v] > f[u][0]) f[u][1] = f[u][0], f[u][0] = sz[v];
else if (sz[v] > f[u][1]) f[u][1] = sz[v];
}
}
void dfs3(int u, int now) {
cut[u] = now;
for (int v : e[u]) if (v != fa[u]) {
if (n - sz[u] <= (n >> 1)) now = max(now, n - sz[u]);
if (f[u][0] == sz[v]) dfs3(v, max(now, f[u][1]));
else dfs3(v, max(now, f[u][0]));
}
if (u == cg || n - sz[u] - cut[u] <= (n >> 1)) ans[u] = 1;
}
void main() {
cin >> n;
for (int i = 1, u, v; i < n; i++) {
cin >> u >> v;
e[u].push_back(v);
e[v].push_back(u);
}
dfs1(1);
fa[cg] = 0;
dfs2(cg);
dfs3(cg, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++) cout << ans[i] << " \n"[i == n];
}
}
CSPS2019 树的重心
首先 \(n\) 为奇数所以只有一个重心 \(rt\)，以它为根，对于 \(x \neq rt\)，若 \(x\) 成为割掉某边后的重心，则这条边一定不在 \(x\) 子树内，设割掉后另一子树大小为 \(S\)，记 \(g_x = \max_{y \in son_x} sz_y\)，则有两个限制：
\[2 \times (n - S - sz_x) \le n - S
\]
\[2 \times g_x \le n - S
\]
得到：
\[n - 2sz_x \le S \le n - 2g_x
\]
且要求边不在 \(x\) 子树内，数据结构维护即可。
\(x = rt\) 可以在 dfs 途中处理。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
// typedef __int128 i128;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 3e5 + 10, mod = 998244353;
template<typename T>
void dbg(const T &t) { cout << t << endl; }
template<typename Type, typename... Types>
void dbg(const Type& arg, const Types&... args) {
#ifdef ONLINE_JUDGE
return ;
#endif
cout << arg << ' ';
dbg(args...);
}
struct Query {
int t, l, r;
};
int T, n, cg, sz[N], g[N], dfn[N], idx, m1, m2, in[N];
ll ans;
vector<int>e[N];
vector<Query>q[N];
struct Fenwick {
int tr[N];
#define lowbit(x) (x & -x)
void clear() { for (int i = 1; i <= n; i++) tr[i] = 0; }
void add(int x, int v) {
if (!x) return ;
while (x <= n) {
tr[x] += v;
x += lowbit(x);
}
}
int qry(int x) {
if (x < 0) return 0;
int res = 0;
while (x) {
res += tr[x];
x -= lowbit(x);
}
return res;
}
int ask(int l, int r) {
if (l > r) return 0;
return qry(r) - qry(l - 1);
}
} t1, t2;
inline void dfs1(int u, int fa) {
sz[u] = 1; g[u] = 0;
dfn[u] = ++idx;
for (auto v : e[u]) if (v != fa) {
dfs1(v, u);
sz[u] += sz[v];
g[u] = max(g[u], sz[v]);
}
if (!cg && max(g[u], n - sz[u]) * 2 <= n) cg = u;
}
inline void dfs2(int u, int fa) {
t1.add(sz[fa], -1);
t1.add(n - sz[u], 1);
if (u != cg) {
int l = n - sz[u] * 2, r = n - g[u] * 2;
ans += (ll)u * (t1.ask(l, r) + t2.ask(l, r));
if (in[fa]) in[u] = 1;
if (in[u]) ans += cg * (sz[u] <= n - sz[m2] * 2);
else ans += cg * (sz[u] <= n - sz[m1] * 2);
}
t2.add(sz[u], 1);
for (auto v : e[u]) if (v != fa) {
dfs2(v, u);
}
t1.add(sz[fa], 1);
t1.add(n - sz[u], -1);
if (u != cg) {
int l = n - sz[u] * 2, r = n - g[u] * 2;
ans -= (ll)u * t2.ask(l, r);
}
}
// 这里有个猎奇的点，就是 cg 为根的时候本来给 0 加一是会出问题的，但是这里由于 sz[0] = 0 恰好抵消了，当然我的意思是 xht 的写法是对的，因为 BIT 里给 x++ 了，但是不加还是会似
int main() {
// freopen("data.in", "r", stdin);
// freopen("data.out", "w", stdout);
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> T;
while (T--) {
ans = 0;
cin >> n;
cg = m1 = m2 = 0;
t1.clear(); t2.clear();
for (int i = 1; i <= n; i++) e[i].clear(), q[i].clear(), in[i] = 0;
for (int i = 1, u, v; i < n; i++) {
cin >> u >> v;
e[u].push_back(v); e[v].push_back(u);
}
dfs1(1, 0);
idx = 0;
dfs1(cg, 0);
for (auto v : e[cg]) {
if (sz[v] > sz[m1]) m2 = m1, m1 = v;
else if (sz[v] > sz[m2]) m2 = v;
}
in[m1] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) t1.add(sz[i], 1);
dfs2(cg, 0);
cout << ans << '\n';
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号