一个期望小问题

求 \(n\) 阶排列的置换环数量和。

GF，Stirling 数可以算，但是可以用期望的眼光看待。

一个点 \(i\) 所在环长度是 \(k\) 的概率是 \(1/n\)，其是环上最小值的概率是 \(1/k\)，环的数量可以看成 \(\sum [i 为环上最小值]=\sum H_n/n=H_n\)，那么总和就是 \(n!H_n\)。\(H_n\) 为调和级数。

上面的统计运用了代表元思想，还是挺有意思的。