P5972 [PA 2019] Desant

很有意思的题。

\(n \le 40\) 提示我们思考非多项式复杂度的做法。

显然有 \(\mathcal{O}(n2^n)\) 的暴力，无法通过。

回归本质，想想这玩意为啥不行，主要是因为我们每次都要记录选数的集合，但这是不必要的，因为我们在求逆序对，所以我们只需要知道前面有多少比自己大的数，但是这不好转移。

再想想，如果我们选了 \(a_i\)，那么会对后面的选择产生多少贡献呢，显然是会对后面比 \(a_i\) 小的数产生 \(1\) 的贡献，我们考虑把这个东西设计到状态里。

考虑一个很暴力的想法：设 \(a_i, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_n\) 升序排序后是 \(x_1, x_2, \dots, x_{n-i + 1}\)，且将数轴划分成了 \([1, x_1), (x_1, x_2), (x_2, x_3), \dots, (x_{n-i+1}, n]\) 这些区间，选 \(a_i\) 的话，假设 \(a_i=x_k\)，那么产生的逆序对数就是在 \(i\) 之前选的数 \(a_j\) 在 \((x_k, x_{k+1}), \dots, (x_{n-i+1}, n]\) 这些区间中的 \(j\) 的数量，那么考虑对于每个区间记录之前选的 \(a_j\) 在这个区间中的数量，记为这个区间的权值。同时每次不管选不选 \(i\) 都会合并 \((x_k, x_{k+1})\) 和 \((x_{k+1}, x_{k+2})\) 两个区间。这个东西的本质就是扣掉了之前不可能会选的数 \(a_i, a_{i+1}, \dots, a_n\)，然后就划出了若干个区间。

然后我们惊人地发现：这玩意状态数非常少！于是我们直接使用变进制状压就对了。

这里是证明（比较粗略）：由于区间里有开区间也有半闭半开区间，为了实现方便我们默认区间长度为 \(r - l\)，那么区间之和就是 \(n\) 了。于是问题转化为 \(N\) 个数 \(a_1, a_2, \dots, a_N\) 和为定值 \(M\)，求 \(\prod a_i\) 的最大值。首先由均值不等式，\(\prod a_i \le (\frac{M}{N})^N\)，当且仅当 \(a_1=a_2=\dots=a_N=\frac{M}{N}\) 时取等。此时 \(M=n, N=n-i+1\)，于是状态数为 \(\sum\limits_{i=1}^n (\frac{n}{n-i+1})^{n-i+1}\)，跑一下发现 \(n=40\) 的时候大概是 \(23573116\)，然后随便转移就过了，因为其实跑不满。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^2\sum\limits_{i=1}^n (\frac{n}{n-i+1})^{n-i+1})\)。实际上还是跑不满。

对于其他题解所说的状态数上界为 \(3^{n/3}\) 感觉不准确，毕竟这里段数是固定的。~但是实际这个上界并没有很宽，大抵是因为 \(n\) 较大时瓶颈就在 \(3\) 那里~。

实现可以参考这位大蛇的。