树的重心

首先 \(n\) 为奇数所以只有一个重心 \(rt\)，以它为根，对于 \(x \neq rt\)，若 \(x\) 成为割掉某边后的重心，则这条边一定不在 \(x\) 子树内，设割掉后另一子树大小为 \(S\)，记 \(g_x = \max_{y \in son_x} sz_y\)，则有两个限制：

\[2 \times (n - S - sz_x) \le n - S \]

\[2 \times g_x \le n - S \]

得到：

\[n - 2sz_x \le S \le n - 2g_x \]

且要求边不在 \(x\) 子树内，数据结构维护即可。

\(x = rt\) 可以在 dfs 途中处理。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
// typedef __int128 i128;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 3e5 + 10, mod = 998244353;
template<typename T>
void dbg(const T &t) { cout << t << endl; }
template<typename Type, typename... Types>
void dbg(const Type& arg, const Types&... args) {
    #ifdef ONLINE_JUDGE
        return ;
    #endif
    cout << arg << ' ';
    dbg(args...);
}   
struct Query {
	int t, l, r;
};
int T, n, cg, sz[N], g[N], dfn[N], idx, m1, m2, in[N];
ll ans;
vector<int>e[N];
vector<Query>q[N];
struct Fenwick {
	int tr[N];
	#define lowbit(x) (x & -x)
	void clear() { for (int i = 1; i <= n; i++) tr[i] = 0; }
	void add(int x, int v) {
		if (!x) return ;
		while (x <= n) {
			tr[x] += v;
			x += lowbit(x);
		}
	}
	int qry(int x) {
		if (x < 0) return 0;
		int res = 0;
		while (x) {
			res += tr[x];
			x -= lowbit(x);
		}
		return res;
	}
	int ask(int l, int r) {
		if (l > r) return 0;
		return qry(r) - qry(l - 1);
	}
} t1, t2;
inline void dfs1(int u, int fa) {
	sz[u] = 1; g[u] = 0;
	dfn[u] = ++idx;
	for (auto v : e[u]) if (v != fa) {
		dfs1(v, u);
		sz[u] += sz[v];
		g[u] = max(g[u], sz[v]);
	}
	if (!cg && max(g[u], n - sz[u]) * 2 <= n) cg = u;
}
inline void dfs2(int u, int fa) {
	t1.add(sz[fa], -1);
	t1.add(n - sz[u], 1);
	if (u != cg) {
		int l = n - sz[u] * 2, r = n - g[u] * 2;
		ans += (ll)u * (t1.ask(l, r) + t2.ask(l, r));
		if (in[fa]) in[u] = 1;
		if (in[u]) ans += cg * (sz[u] <= n - sz[m2] * 2);
		else ans += cg * (sz[u] <= n - sz[m1] * 2);
	}
	t2.add(sz[u], 1);
    for (auto v : e[u]) if (v != fa) {
        dfs2(v, u);
    }
    t1.add(sz[fa], 1);
    t1.add(n - sz[u], -1);
    if (u != cg) {
		int l = n - sz[u] * 2, r = n - g[u] * 2;
		ans -= (ll)u * t2.ask(l, r);
	}
}
// 这里有个猎奇的点，就是 cg 为根的时候本来给 0 加一是会出问题的，但是这里由于 sz[0] = 0 恰好抵消了，当然我的意思是 xht 的写法是对的，因为 BIT 里给 x++ 了，但是不加还是会似 
int main() {
	// freopen("data.in", "r", stdin);
	// freopen("data.out", "w", stdout);
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin >> T;
    while (T--) {
    	ans = 0;
    	cin >> n;
    	cg = m1 = m2 = 0;
    	t1.clear(); t2.clear();
    	for (int i = 1; i <= n; i++) e[i].clear(), q[i].clear(), in[i] = 0;
    	for (int i = 1, u, v; i < n; i++) {
    		cin >> u >> v;
    		e[u].push_back(v); e[v].push_back(u);
		}
		dfs1(1, 0);
		idx = 0;
		dfs1(cg, 0);
		for (auto v : e[cg]) {
			if (sz[v] > sz[m1]) m2 = m1, m1 = v;
			else if (sz[v] > sz[m2]) m2 = v;
		}
		in[m1] = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) t1.add(sz[i], 1);
		dfs2(cg, 0);
		cout << ans << '\n';
	}
    return 0;
}