Raney 引理小记

内容：对于一个长度为 \(n\) 和为 \(1\) 的整数序列 \(a\), 其循环移位中有且仅有一个满足所有前缀和 \(>0\)。
证明：不会。
应用：

1. 推导卡特兰数：应用括号序列那个例子 ( 为 \(1\) ) 为 \(-1\)，在开头插入一个 \(1\) 则满族和为 \(1\) 的条件，随便填的方案数是 \(\binom{2n + 1}{n}\)，循环移位中仅一个可行，故方案数为 \(\dfrac{\dbinom{2n + 1}{n}}{2n+1}=\dfrac{\dbinom{2n}{n}}{n+1}\)。注意开头填 \(-1\) 的方案显然不可行。

2. P6672: 首先所有数 \(-1\) 转化为 \(\sum a_i=0\) 求 \(\forall i, \sum\limits_{j=1}^{i} a_i \ge 0\)，但是由于开头填一个 \(1\) 无法按原证明方法（题解上这么说的）证明，因为有 \(>1\) 的数存在。
   考虑加一个 \(-1\)，然后将所有数（包括这个 \(-1\)）取反，逆序之后就对了。所以现方案为 \(((m + 1) - 1)!=m!\)。然后由于现在多了一个 \(-1\) 会产生影响，原本有 \(m - n\) 个 \(-1\)，排列方案为 \((m-n)!\)，加了这个 \(-1\) 后变成了 \((m-n+1)!\)，所以最后需要除一个 \(m-n+1\)。