CDQ分治学习笔记

CDQ 分治是一种离线的分治思想，可以用来处理以下问题：

• 解决和点对有关的问题。
• 1D 动态规划的优化与转移。
• 通过 CDQ 分治，将一些动态问题转化为静态问题。
  （摘自 oiwiki）

解决和点对有关的问题

算法流程如下:
要解决 \([l, r]\) 的问题，先将 \([l, mid],[mid + 1, r]\) 的问题解决，再解决整个区间的问题，所以不严格得讲，分治求平面最近点对、归并排序都是 CDQ 分治的思想(但是 CDQ 分治一般会套上数据结构)。

例：三维偏序

我们要求 \([1,n]\) 中的点对 \((i,j)\)，先分治，解决 \([1,mid],[mid+1,n]\) 的子问题，再考虑 \(l \le i \le mid, mid + 1 \le j \le r\) 的点对，我们先在一开始让数组按 \(a_i\) 升序排序，保证 \(\forall l \le i \le mid < j \le r, a_j \ge a_i\),然后再左右分别按 \(b_i\) 升序排序，这是为了方便我们双指针找到所有满足 \(b_i \le b_j\) 的 \(i\)，接下来就不用多说了，用树状数组把 \(c_i\) 存起来然后计算即可。

Code

注意：cmp1 不仅要按 \(a_i\) 排，还要在 \(a_i\) 相同时按 \(b_i,c_i\) 排，否则可能会让满足条件的点对 \((i,j)\) \(i\) 在右边而统计不到, cmp2 则不用（但建议还是写一下）

例2：[CQOI2011] 动态逆序对

记 \(t_i\) 为 \(i\) 被删除的时间，如果没有被删除则 \(t_i = +\infty\)，然后考虑一个点 \(i\) 删除前后，删除后少去了其本身当前的贡献，也就是点对 \((i,j)\) 满足 \(t_i>t_j \land ((i < j \land val_i>val_j) \lor (i > j \land val_i < val_j))\)，这就转化成了一个三维偏序问题。

Code

优化动态规划的转移

其实和点对之间的关系的处理是同理的，但是要注意的是，处理跨越区间 (\(i<mid<j\))的问题时，要按照正确的 dp 转移顺序来。例如，我们有一个二维的 LIS 问题，转移方程为：
\(dp_i=\max\limits_{j=1}^{i-1} [a_j<a_i \land b_j<b_i]dp_j\)
这里我们之间一个 cdq 分治上去，树状数组维护前缀最大值就能优化到 \(O(n \log^2 n)\), 但是中间的处理部分必须要放在 cdq(l, mid) 和 cdq(mid+1, r) 之间,因为在转移 \(i\) 的时候要求 \(j<i\) 的 \(dp_j\) 都被处理完了。如果 \(l=r\), 则说明 \(dp_l\) 处理完毕了，直接 return 即可。

例：[SDOI2011] 拦截导弹

如上，第一问跑一个二维最长非升子序列即可，但是第二问，我们需要求出存在 \(i\) 的最长非升子序列个数，除以总个数，这里有个 trick，只要求出以 \(i\) 结尾、开头的最长非升子序列个数，再相乘即可（如果两者拼起来的长度为全局最长长度的话），那么目标明确，两边 \(CDQ\) 就行，细节有点多，可以慢慢理解下代码。

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将动态问题转化为静态问题

这里，CDQ 分治折半的是 时间序列，也可以说是操作（修改和询问）顺序序列，常用于解决 修改 xxx 询问 xxx 的问题，但是这是个离线算法，我们要先把所有修改、询问存下来，这样操作本身就按时间排好序了，这时，每个修改都会影响到后面的询问，这样的点对共有 O(n^2) 对。称为一个修改-询问关系，下面我们用 \(i\) 来表示第 \(i\) 次操作。
接下来思路便明了了，我们在解决 \((l, r)\) 中所有修改和询问问题时，先处理 \((l, mid), (mid + 1, r)\) 之间的关系，再处理 \((i, j)(l \le i \le mid \le j \le r)\) 的关系，其中 \(i\) 是一个修改，\(j\) 是一个询问。

有一点要注意的是，如果修改之间相互 \(独立\), 比如区间加减什么的，这时候我们随便什么时候处理