莫比乌斯函数 & 莫比乌斯反演

引入

前置知识：数论分块、狄利克雷卷积
本文中 \(*\) 表示狄利克雷卷积运算。

莫比乌斯函数

定义

莫比乌斯函数（Möbius 函数）定义为：

\[\mu(n)= \left\{ \begin{array}{c} 1 &&n=1\\ (-1)^k && \texttt{𝑛 is the product of 𝑘 distinct primes}\\ 0 && \texttt{𝑛 is divisible by a square}>1\\ \end{array} \right. \]

当然，这么写没人能看懂，下面说一下通俗版本：
设

\[n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i} \]

其中 \(p_i\) 时素数，\(c_i\) 是正整数(说白了就是分解质因数)，那么莫比乌斯函数就可以写成这样：

\[\mu(n)= \left\{ \begin{array}{c} 1 &&n=1\\ (-1)^k && \forall c_i,c_i=1\\ 0 && \exists c_i,c_i>1\\ \end{array} \right. \]

这个 \(k\) 就是分解出来不同素数的个数。

性质

一

莫比乌斯函数是积性函数，但不是完全积性函数。
即当 \(n、m\) 互质时：

\[\mu(nm)=\mu(n)\cdot\mu(m) \]

二

对于正整数 \(n\)，有

\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \]

证明

令 \(n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}\)，\(n'=\prod_{i=1}^{k}p_i\)。
观察一下莫比乌斯函数的定义就会发现，在素因数指数不为 \(1\) 时函数值为零，所以为什么不直接去除掉？

\[\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{d|n'}\mu(d) \]

然后我们可以想到 \(\sum_{d|n'}\) 本质上是在 \(p_i\) 中挑几个素数，所以我们可以枚举素数的个数，又因为在素因数个数相同的时候莫比乌斯函数值一样，所以可以写成：

\[\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}(-1)^i \]

然后就发现，这不是二项式定理吗？

看不出来？

\[\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}(-1)^i=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}1^{k-i}(-1)^i \]

\[\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}(-1)^i=(1-1)^k=[k=0]=[n=1] \]

证毕。

当然，该性质还有另一种表达：

\[1^⑴*\mu=𝜀 \]

这不难理解，把这个卷积展开就是上面这个式子。

应用

\[[i\perp^⑵ j]=[\gcd(i,j)=1]=\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)=\sum_{d}[d|i][d|j]\mu(d) \]

它将互素的条件转化为关于莫比乌斯函数的求和式，方便进一步推导。

摘自 OI Wiki

莫比乌斯反演

莫比乌斯函数最重要的应用。

\[f=1*g⟺g=\mu*f \]

展开形式

\[f(n)=\sum_{d|n}g(d)⟺g(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})f(d) \]

证明

将 \(f=1*g\) 带入 \(g=\mu*f\)，得：

\[g=\mu*(1*g) \]

根据结合律，得：

\[g=(\mu*1)*g \]

根据莫比乌斯函数性质二得：

\[g=𝜀*g=g \]

证毕。

注释

⑴ \(1\) 表示常数函数，\(one(n)=1\)，不管自变量如何取值函数值恒为 \(1\)。
⑵ \(\perp\) 表示两个数互质。