狄利克雷卷积

狄利克雷卷积(Dirichlet convolution)

现在有两个数论函数\(^⑴\) \(f(n)\) 和 \(g(n)\)。
定义 \(f(n)\) 与 \(g(n)\) 的狄利克雷卷积运算为:

\[\sum_{k|n}f(k)g(\frac{n}{k})=\sum_{kℓ=n}f(k)g(ℓ) \]

记为 \(f*g\) 读作「f 卷 g」。

性质

设 \(f,g,h\) 都是数论函数。

运算律

狄利克雷卷积满足一下性质：

1. 交换律：\(f*g=g*f\)
2. 结合律：\((f*g)*h=f*(g*h)\)
3. 分配律：\((f+g)*h=f*h+g*h\)

直接将式子拆开就可以证明以上三个性质，在此不过多赘述。

单位元

狄利克雷卷积运算的单位元为 \(𝜀\)，其中

\[𝜀=<1,0,0,0,\cdots,0> \]

即 \(𝜀(n)=[n=1]^⑵\)
其满足 \(f*𝜀=𝜀*f=f\)

逆元

设数论函数 \(f\) 的逆元为 \(f^{-1}\)，则满足：

\[f*f^{-1}=𝜀 \]

当且仅当 \(f(1)\neq 0\) 时存在逆元。

\[f^{-1}=\frac{𝜀(n)-\sum_{kℓ=n,k\neq 1}f(k)g(ℓ)}{f(1)} \]

注释

⑴「数论函数」：数论函数是定义域在正整数集(\(\N_+\))的函数，例如 \(\varphi\) (欧拉函数)、\(\mu\) (莫比乌斯函数)都是数论函数。
⑵ \([\cdot]\) 为 Iverson 括号，括号中表达式为真时值为 \(1\)，为假时值为 \(0\)。