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前置芝士：证明 \(C(m,n)=C(m,n-1)+C(m-1,n-1)\) \(∵C(m,n)=C(m,n-1)+C(m-1,n-1)\) \(∴C(m+1,n+1)=C(m+1,n)+C(m,n)\) 证明 $\sum_{k=0}^{n} C_{k}^m = C_{m+1}^{n+1} $ \( 阅读全文
posted @ 2024-12-14 11:33
liukejie
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组合数的定义： 组合数表示从 $ n $ 个不同的元素中，选取 $ m $ 个元素的不同选择方式，不考虑顺序。记为 $ C(m, n) $ 或 $ \binom{n}{m} $。 数学定义为： \[C(m, n) = \frac{n!}{m!(n-m)!} \]其中： $ n! $ 是 $ n $ 阅读全文
posted @ 2024-12-14 10:58
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我们来证明以下公式： \[\sum_{m=0}^n C(m, n) = 2^n. \]证明思路： 这个公式的含义是：从 $ n $ 个元素中选取 $ m $ 个元素的组合数的总和，随着 $ m $ 从 0 到 $ n $ 变化，等于 $ 2^n $。我们将用递推的方法来证明这个等式。 1. 组合数的 阅读全文
posted @ 2024-12-14 10:56
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证明： 根据组合数的定义，组合数 $ C(m, n) $ 可以表示为： \[C(m, n) = \frac{n!}{m!(n-m)!}. \]同样，组合数 $ C(n-m, n) $ 的定义是： \[C(n-m, n) = \frac{n!}{(n-m)!(m)!}. \]我们可以看到，公式中 $ 阅读全文
posted @ 2024-12-14 10:41
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排列数的定义： 排列数是指从 $ n $ 个不同的元素中，选取 $ m $ 个元素并按照一定顺序排列的方式数，记为 $ P(m, n) $。 数学定义为： \[P(m, n) = \frac{n!}{(n-m)!}, \]其中： $ n! $ 表示 $ n $ 的阶乘，即 $ n! = n \tim 阅读全文
posted @ 2024-12-14 10:18
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定义法 利用组合数的定义 $ C(m, n) = \frac{n!}{m!(n-m)!} $，展开公式的两边进行验证。 左边： \[C(m, n) = \frac{n!}{m!(n-m)!}. \]右边： \[C(m, n-1) + C(m-1, n-1). \]分别计算两项： \[C(m, n-1 阅读全文
posted @ 2024-12-14 10:13
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