证明 C(m, n) = C(n-m, n)

证明：

根据组合数的定义，组合数 $ C(m, n) $ 可以表示为：

\[C(m, n) = \frac{n!}{m!(n-m)!}. \]

同样，组合数 $ C(n-m, n) $ 的定义是：

\[C(n-m, n) = \frac{n!}{(n-m)!(m)!}. \]

我们可以看到，公式中 $ C(m, n) $ 和 $ C(n-m, n) $ 只是在分母中 $ m! $ 和 $ (n-m)! $ 互换了位置，但分子部分相同，都是 $ n! $。

因此，$ C(m, n) $ 和 $ C(n-m, n) $ 是相等的，即：

\[C(m, n) = C(n-m, n). \]

结论：

从 $ n $ 个元素中选取 $ m $ 个元素的组合数，等于从 $ n $ 个元素中选取 $ n-m $ 个元素的组合数。这是组合数的一个重要对称性。

因为选择 $ n-m $ 个元素的组合数，相当于 $ m$ 个元素不选的组合数，因此：

\[C(m, n) = C(n-m, n). \]