证明 $C(m,n)=C(m,n-1)+C(m-1,n-1)$

定义法

利用组合数的定义 $ C(m, n) = \frac{n!}{m!(n-m)!} $，展开公式的两边进行验证。

左边：

\[C(m, n) = \frac{n!}{m!(n-m)!}. \]

右边：

\[C(m, n-1) + C(m-1, n-1). \]

分别计算两项：

\[C(m, n-1) = \frac{(n-1)!}{m!((n-1)-m)!} = \frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!}, \]

\[C(m-1, n-1) = \frac{(n-1)!}{(m-1)!((n-1)-(m-1))!} = \frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}. \]

将右边通分：

\[C(m, n-1) + C(m-1, n-1) = \frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!} + \frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}. \]

通分后分母为 $ m!(n-m)! $，分子为：

\[m \cdot (n-1)! + (n-m) \cdot (n-1)! = n \cdot (n-1)!. \]

因此：

\[C(m, n-1) + C(m-1, n-1) = \frac{n \cdot (n-1)!}{m!(n-m)!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}. \]

这与 $ C(m, n) $ 相等，证明完毕。

证明思路：

我们将 $ n $ 个元素分成两部分：一个是特定的元素 $ A $，剩下的是其余的 $ n-1 $ 个元素。然后我们根据 $ A $ 是否被选入组合来进行分类讨论。

分情况讨论：

1. 情况 1：$ A $ 被选入组合中

• 如果 $ A $ 被选入组合，那么我们需要从剩下的 $ n-1 $ 个元素中选出 $ m-1 $ 个元素。
• 这种情况下的组合数就是从 $ n-1 $ 个元素中选出 $ m-1 $ 个元素的组合数，即 $ C(m-1, n-1) $。

2. 情况 2：$ A $ 不被选入组合中

• 如果 $ A $ 不被选入组合，那么所有的 $ m $ 个元素都必须从剩下的 $ n-1 $ 个元素中选出。
• 这种情况下的组合数就是从 $ n-1 $ 个元素中选出 $ m $ 个元素的组合数，即 $ C(m, n-1) $。

根据加法原理，所有可能的组合数是这两种情况的总和：

\[C(m, n) = C(m, n-1) + C(m-1, n-1). \]