P2424 约数和

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Solution

说实在的评蓝有点过了。。。

数据较大，直接暴力 \(O(n\sqrt{n})\) 复杂度直接起飞。
问题是求 \(f(x)\) 加到 \(f(y)\)，我们考虑换个思路，把式子变成：

\[\sum_{i=1}^yf(i)-\sum_{i=1}^{x-1}f(i) \]

即求 \(1\) 到 \(y\) 的约数和减去 \(1\) 到 \(x-1\) 的约数和。

现在问题变成了怎么求 \(1\) 到 \(n\) 的约数和。考虑每个约数对答案的贡献，在 \([1,n]\) 内，含有 \(i\) 因数的数的个数为 \(\lfloor \frac ni\rfloor\)，所以就是：

\[\sum_{i=1}^ni\lfloor \frac ni\rfloor \]

然后这个式子整除分块随便搞，就写完了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
void read(int &x)
{
	char ch=getchar();
	int r=0,w=1;
	while(!isdigit(ch))w=ch=='-'?-1:1,ch=getchar();
	while(isdigit(ch))r=(r<<3)+(r<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	x=r*w;
}
main()
{
	int x,y;
	read(x);read(y);
	x-=1;
	int sum1=0;
	for(int i=1,j;i<=x;i=j+1)
	{
		j=(x/(x/i));
		sum1+=(x/i)*(i+j)*(j-i+1)/2;
	}
	int sum2=0;
	for(int i=1,j;i<=y;i=j+1)
	{
		j=(y/(y/i));
		sum2+=(y/i)*(i+j)*(j-i+1)/2;
	}
	cout<<sum2-sum1;
	return 0;
}