随笔分类 - 图论
摘要：费用流问题指的是在网络流边权新增“代价”这一属性后，在得到最大流量的前提下最小化代价之和的问题。 我们依然使用基于增广路的算法，只不过每次使用Bellman_Ford来寻找最短路。 如果要求代价最小可以在代价变为正时停止增广。 代码：
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摘要：涂色问题： 问题： 给出一个$n m$的矩阵（$n,m\leq30$），每个格子都要求涂上一种颜色，且每个格子不能被涂两次以上（每次都是相同颜色则可以），涂同一行或列连续的一些格子涂色的代价分别为$a$，$b$，单独涂一个格子的代价为$c$，求将整个矩阵涂至目标状态的最小代价和。 解析： 我们先预处
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摘要：SAP算法 网络流中性能与复杂度最适合的算法就是SAP算法了，且易于编写，由于该说的东西太多所以我就不说了各位自行翻书吧。 代码：
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摘要：2 SAT 2 SAT指的是这样一类问题：给出$n$个布尔变量和$m$个限制，形如：$$x_i为真/假 或 x_j为真/假$$ 求满足所有条件的一组布尔值。 我们可以把它转化为一个图上的关系，设结点$2x_i$表示$x_i$为假，$2x_i+1$表示$x_i$为真 以关系$x_i 为真 或 x_j
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摘要：虚树 有这样一类问题：给出一棵$n$个结点的树（$n$为$10^5$级别），每次指定$m$个结点，给予它们一些性质，求出某个答案，保证$\sum m$与$n$同阶。 从保证总和这一点就可以看出，每次询问的复杂度必须基于$m$，这样才能保证总复杂度。但是这类问题往往需要通过树形DP来解决，这样复杂度就
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摘要：强连通分量： 一个有向图内，若一个子图是强连通的，且满足极大性，则称它是原图的一个强连通分量。在将所有强连通分量缩为一个点后，即得到了一个DAG Kosaraju算法： 我们对原图进行一遍DFS，记录它结束的时间点，然后在反向图中从时间点从大到小DFS，每次DFS遍历的结点即在一个强连通分量中，时间
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摘要：LCA： 在一棵有根树中，在两个节点的公共祖先中，深度最大的一个称为它们的最近公共祖先（LCA） 不难发现暴力求LCA时间复杂度是O(n)的，这里给出两种快速求LCA的方法： （1）倍增法： 类似于ST表，我们用parent[i][k]表示结点i的往上第2^k代祖先结点，在O(nlogn)时间内求出
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摘要：匈牙利算法是对于二分图的无权最大匹配的算法，可以在O(n^3)时间内求出二分图的最大匹配数及匹配方案。 具体实现，即从X部一个结点开始DFS，寻找一条交错轨，然后交换各边的匹配状态，此时匹配数+1。当不存在增广路，匹配结束。
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摘要：最小顶点覆盖： 在二分图中，选取尽可能少的一些结点，使任意一条边的两个端点至少有一个被选取。 König定理： 在二分图中， 最小顶点覆盖数=最大匹配数 ，其中选取的顶点都为匹配边的顶点。 König定理的证明： 这里给出一个简短的说法：在我们求出二分图的最大匹配数之后，对于一条未匹配边，它一定有一
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摘要：网络流的经典算法，原理依旧遵循增广路定理，只是在Ford Fulkson算法的基础上，每次增广前求出残量网络中每个点到源点的距离，确保每次流的都是最短路。 注意当前弧优化
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摘要：Bellman Ford算法是用于求出包含负权边的图的单源最短路，当存在负环返回错误信息，否则给出原点到各点的最短路，复杂度为O(nm) 其原理就是利用FIFO队列不断对可能边进行松弛操作，每当新松弛了一条边，将这条边加入队列。
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摘要：迪杰斯拉特（Dijksta）算法用于在O(mlogn)时间内求出给定图的最短路，使用优先队列和邻接表来实现，通过当前最短路来对其他边进行松弛操作。 这里将边封装为一个数据结构（邻接矩阵确实方便，但内存也更大）。
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