2-SAT

2-SAT

2-SAT指的是这样一类问题：给出\(n\)个布尔变量和\(m\)个限制，形如：$$x_i为真/假 或 x_j为真/假$$

求满足所有条件的一组布尔值。

我们可以把它转化为一个图上的关系，设结点\(2x_i\)表示\(x_i\)为假，\(2x_i+1\)表示\(x_i\)为真

以关系\(x_i 为真 或 x_j 为假\)举例，如果\(x_i\)为假，那么\(x_j\)就只能是假，反之若\(x_j\)为真，那么\(x_i\)必为真，所以我们可以连接两条有向边：$$（2x_i ->2x_j） （2x_i+1 ->2x_j+1）$$

对于其他形式的条件同理，在建完图后依次考虑未赋值的变量，分别在每个选择上DFS看是否存在矛盾（如果两者都有矛盾，那么2-SAT无解），总的时间复杂度为\(O(n+m)\)

代码：

void relate(int x,int sx,int y,int sy)  //sx,sy为0表示假，1表示真
{
 G[(x<<1)|sx].push_back((y<<1)|(1^sy));
 G[(y<<1)|sy].push_back((x<<1)|(1^sx));
}

bool DFS(int k)
{
 if (T[k^1]) return false; //矛盾
 if (T[k]) return true;  //满足条件

 T[k]=true;
 rep(i,0,sz(G[k])-1) if (!DFS(G[k][i])) {T[k]=false;return false;}

 return true;
}

bool solve()
{
 rep(i,1,n)
  if ((!T[(i<<1)])&&(!T[(i<<1)|1])) //还未赋值
   if ((!DFS(i<<1))&&(!DFS((i<<1)|1))) return false; //无解
 return true;
}