基于Batcher比较器的双调排序网络

1. Batcher比较器

  Batcher比较器是指如果在两个输入端给定输入x,y,再在两个输出端输出最大值max{x,y}和最小值min{x,y}。如图1所示,我们规定Batcher比较器的上输出端输出最小值,下输出端输出最大值。

2. 双调序列

  所谓双调序列(Bitonic Sequence)是指由一个非严格增序列X和非严格减序列Y(其中X的最小元素正好是Y的最大元素)构成的序列,比如序列(23,10,8,3,5,7,11,78)。23,10,8为减序列,8,3,5,7,11,78为增序列,8为中间元素。具体的数学定义是酱紫de:

  定义:一个序列a1,a2,…,an是双调序列(Bitonic Sequence),如果

  (1)存在一个ak(1≤k≤n), 使得a1≥…≥ak≤…≤an成立;或者

  (2)序列能够循环移位满足条件(1)

  总的来说,双调序列存在一个中间元素,该元素左边为一个增序列(或减序列),右边为一个减序列(或增序列)。如图2所示(向下和向上的斜线分别表示减序列和增序列):

3. Batcher定理

  Batcher定理是说将任意一个长为2n的双调序列A从中间切成两半,分成等长的两个序列X和Y,然后X和Y相同位置的元素xi与yi比较,小的放到Min序列,大的放到Max序列。由此得到的Max序列和Min序列也是双调序列。且Min序列的每个元素小于或等于Max序列的每个元素。如图3所示:

4. 基于Batcher定理的双调归并网络

  利用Batcher定理,我们可以将任意一个长为2n的双调序列A划分成Min序列和Max序列,再分别对Min序列和Max序列进行划分,以此类推,直到n=1。最后再将所有含两个元素的子序列归并成完全有序的序列。如图4所示:

5. 双调排序网络

  双调归并网络的输入必须是双调序列。如果要将其变成任意输入序列的排序网络,那么首先需要将输入序列转换成一个双调序列。主要思想是:将长度为2n的序列看成n个2个元素的有序序列,任意两个有序序列都可以组成一个4元素双调序列,则可以得到n/2个4元素的双调序列;4元素的双调序列通过一个4个输入的双调归并网络即可得到一个4元素的有序序列;两个4元素的有序序列又可以组成一个8元素的双调序列,再经过一个8输入的双调归并网络即可得到一个8元素的有序序列;以此类推,直到最后得到一个2n个元素的有序序列。如图5所示:

 

参考文献:

1. Batcher归并网络

2. 双调排序

3. 比较器网络的选择与排序

4. 并行计算——结构·算法·编程(第3版)陈国良编著

 

posted @ 2016-07-03 15:24  Junhao_wu  阅读(3065)  评论(0编辑  收藏  举报