从梯度下降到Fista

前言：

　　FISTA（A fast iterative shrinkage-thresholding algorithm）是一种快速的迭代阈值收缩算法（ISTA）。FISTA和ISTA都是基于梯度下降的思想，在迭代过程中进行了更为聪明（smarter）的选择，从而达到更快的迭代速度。理论证明：FISTA和ISTA的迭代收敛速度分别为O(1/k^₂)和O(1/k)。

　　本篇博文先从解决优化问题的传统方法“梯度下降”开始，然后引入ISTA，最后再上升为FISTA。文章主要参考资料如下：
　　[1] A Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm for Linear Inverse Problems。

　　[2] Proximal Gradient Descent for L1 Regularization

　　[3] 线性回归及梯度下降

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正文：

　　考虑以下线性转换问题：b = Ax + w　　（1）

　　例如在图像模糊问题中，A为模糊模板（由未模糊图像通过转换而来），b为模糊图像，w为噪声。并且，A和b已知，x为待求的系数。

　　求解该问题的的传统方法为最小二乘法，思想很简单粗暴：使得重构误差||Ax-b||²最小。即：

　　对f(x) = ||Ax-b||²求导，可得其导数为：f'(x) = 2A^T(Ax-b)。对于该问题，令导数为零即可以取得最小值（函数f(x)为凸函数，其极小值即为最小值）。

　　1）如果A为非奇异矩阵，即A可逆的话，那么可得该问题的精确解为x=A^-1b。

　　2）如果A为奇异矩阵，即A不可逆，则该问题没有精确解。退而求其次，我们求一个近似解就好，||Ax-b||²<=ϵ。

　　其中，||x||¹为惩罚项，用以规范化参数x。该例子使用L1范数作为惩罚项，是希望x尽量稀疏（非零元素个数尽可能少），即b是A的一个稀疏表示。||Ax-b||²<=ϵ则为约束条件，即重构误差最小。问题(3)也可以描述为：

　　式子(4)即为一般稀疏表示的优化问题。希望重构误差尽可能小，同时参数的个数尽可能少。

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　　考虑更为一般的情况，我们来讨论梯度下降法。有无约束的优化问题如下：

　　梯度下降法基于这样的观察：如果实值函数F(x)在点a处可微且有定义，那么函数F(x)在点a沿着梯度相反的方向-∇F(a)下降最快。

　　基于此，我们假设f(x)连续可微（continuously differentiable）。如果存在一个足够小的数值t>0使得x₂ = x₁ - t∇F(a)，那么：

　　F(x2) <= F(x1)

　　梯度下降法的核心就是通过式子(6)找到序列{x_k}，使得F(x_k) <= F(x_k-1)。

　　下图详细说明了梯度下降的过程：

　　

　　从上图可以看出：初始点不同，获得的最小值也不同。因为梯度下降法求解的是局部最小值，受初值的影响较大。如果函数f(x)为凸函数的话，则局部最小值亦为全局最小值。这时，初始点只对迭代速度有影响。

　　再回头看一下式子（6），我们使用步长t_k和导数∇F(x_k)来控制每一次迭代时x的变化量。再看一下上面那张图，彩色缤纷那张。对于每一次迭代，我们当然希望F(x)的值降得越快越好，这样我们就能更快速得获得函数的最小值。因此，步长t_k的选择很重要。

　　如果步长t_k太小，则找到最小值的迭代次数非常多，即迭代速度非常慢，或者说迭代的收敛速度很慢；而步长太大的话，则会出现overshoot the minimum的现象，即不断在最小值左右徘徊，跳来跳去的，如下图所示：

　　

　　然而，t_k最后还是作用在x_k-1上，得到x_k。因此，更为朴素的思想应该是：序列{x_k}的个数尽可能小，即每一次迭代步伐尽可能大，函数值减少得尽可能多。那么就是关于序列{x_k}的选择了，如何更好的选择每一个点x_k，使得函数值更快的趋近其最小值。

　　ISTA和FISTA求解最小化问题的思想就是基于梯度下降法的，它们的优化在于对{x_k}的选择上。这里我们不讲证明，只讲思想。想看证明的话，请看参考资料[1]。

　　下面来讲ISTA（Iterative shrinkage-thresholding algorithm），即迭代阈值收缩算法。

　　先从无约束的优化问题开始，即上面的式子(5)：

　　

　　这时候，我们还假设了f(x)满足Lipschitz连续条件，即f(x)的导数有下界，其最小下界称为Lipschitz常数L(f)。这时，对于任意的L>=L(f)，有：

　　 　　⁽⁷⁾

　　基于此，在点x_k附近可以把函数值近似为：

　　　　⁽⁸⁾

　　在梯度下降的每一步迭代中，将点x_k-1处的近似函数取得最小值的点作为下一次迭代的起始点x_k，这就是所谓的proximal regularization算法（其中，t_k=1/L）。

　　　　　　⁽⁹⁾

　　上面的方法只适合解决非约束问题。而ISTA要解决的可是带惩罚项的优化问题，引入范数规范化函数g(x)对参数x进行约束，如下：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　⁽¹⁰⁾

　　使用更为一般的二次近似模型来求解上述的优化问题，在点y，F(x) := f(x) + g(x)的二次近似函数为：

　　　　　　　　　　　　　　　　⁽¹¹⁾

　　该函数的最小值表示为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⁽¹²⁾

　　忽略其常数项f(y)和∇F(y)，结合式子(11)和(12)，P_L(y)可以写成：

　　　　　　　　　　　　　　　 ⁽¹³⁾

　　显然，使用ISTA解决带约束的优化问题时的基本迭代步骤为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                         ⁽¹⁴⁾

　　固定步长的ISTA的基本迭代步骤如下（步长t = 1/L(f)）：

　　

　　然而，固定步长的ISTA的缺点是：Lipschitz常数L(f)不一定可知或者可计算。例如，L1范数约束的优化问题，其Lipschitz常数依赖于A^TA的最大特征值。而对于大规模的问题，非常难计算。因此，使用以下带回溯（backtracking）的ISTA：

　　

　　理论证明：ISTA的收敛速度为O(1/k)；而FISTA的收敛速度为O(1/k²)。实际应用中，FISTA亦明显快于ISTA。其证明过程还是看这篇文章：[1]。

　　FISTA与ISTA的区别在于迭代步骤中近似函数起始点y的选择。ISTA使用前一次迭代求得的近似函数最小值点x_k-1，而FISTA则使用另一种方法来计算y的位置。理论证明，其收敛速度能够达到O(1/k²)。固定步长的FISTA的基本迭代步骤如下：

　　

　　当然，考虑到与ISTA同样的问题：问题规模大的时候，决定步长的Lipschitz常数计算复杂。FISTA与ISTA一样，亦有其回溯算法。在这个问题上，FISTA与ISTA并没有区别，上面也说了，FISTA与ISTA的区别仅仅在于每一步迭代时近似函数起始点的选择。更加简明的说：FISTA用一种更为聪明的办法选择序列{x_k}，使得其基于梯度下降思想的迭代过程更加快速地趋近问题函数F(x)的最小值。

　　带回溯的FISTA算法基本迭代步骤如下：

　　

　　值得注意的是，在每一步迭代中，计算近似函数的起止点时，FISTA使用前两次迭代过程的结果x_k-1,x_k-1，对其进行简单的线性组合生成下一次迭代的近似函数起始点y_k。方法很简单，但效果却非常好。当然，这也是有理论支持的。

　　FISTA算法就介绍到这里啦！如果有什么讲的不够明白的地方，还希望各位看客指点。