数据结构——查找

查找

一、顺序查找

1. 基本思想

顺序查找（Sequential Search）是最简单、最直观的查找方法。从线性表的一端开始，逐个将每个元素的关键字与给定值进行比较，若相等则查找成功；若遍历完整个表仍未找到，则查找失败。

顺序查找对表没有任何要求——无论表是否有序、无论采用顺序存储还是链式存储，都可以使用。

2. 代码实现

int SeqSearch(int a[], int n, int key) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (a[i] == key)
            return i;       // 查找成功，返回下标
    }
    return -1;              // 查找失败
}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$，只需几个临时变量

3. 优缺点

优点：

• 对表的结构无要求——无序、有序、顺序表、链表均可
• 实现简单，适合数据量较小的场景

缺点：

• 查找效率低，当 n 较大时不适合
• 每次比较都是线性遍历，无法利用顺序信息

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二、折半查找

1. 基本思想

折半查找（Binary Search，又称二分查找）是一种在有序线性表中进行查找的高效算法。其核心思想是每次将待查找区间一分为二，取中间位置的元素与关键字比较：

• 若相等，则查找成功
• 若中间元素大于关键字，则在左半部分继续查找
• 若中间元素小于关键字，则在右半部分继续查找

重复上述过程，直到找到或区间为空。

类比生活：查英文词典时，要查一个单词绝不会从头翻到尾——而是根据字母顺序直接翻到大致位置，然后根据页眉的单词范围决定往前翻还是往后翻。这就是折半查找的思路。

2. 前提条件

折半查找的使用有两个严格前提：

1. 线性表必须采用顺序存储结构（数组），因为需要随机存取中间位置的元素
2. 表中的元素必须按关键字有序排列（通常为升序）

链表无法使用折半查找，因为链表不支持随机存取，无法在 $O(1)$ 时间内获取中间位置的元素。

3. 代码实现

int BinarySearch(int a[], int n, int key) {
    int low = 0, high = n - 1, mid;
    while (low <= high) {
        mid = low + (high - low) / 2;   // 取中间位置，防止 (low+high) 溢出
        if (a[mid] == key)
            return mid;                 // 查找成功
        else if (a[mid] > key)
            high = mid - 1;             // 在左半部分继续查找
        else
            low = mid + 1;              // 在右半部分继续查找
    }
    return -1;                          // 查找失败
}

注意：mid = (low + high) / 2 在 low 和 high 都很大时可能溢出，写成 low + (high - low) / 2 可以避免此问题。

• 时间复杂度：$O(\log_2 n)$
• 空间复杂度：$O(1)$（非递归实现）

当 n 较大时，折半查找的效率远高于顺序查找。但折半查找要求表必须有序，且只能用于顺序表，这两个限制在某些场景下并不满足。

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三、索引查找

1. 基本思想

索引查找（Index Search，又称分块查找，Block Search）是顺序查找的一种改进。它将查找表分为若干块（Block），并额外建立一个索引表来管理这些块。

核心思想可以概括为："块间有序，块内无序"。

具体来说：

• 将长度为 n 的表均匀分为 b 块，每块有 s 个元素（最后一块可能少于 s 个）
• 块内元素可以任意排列，没有顺序要求
• 块间是有序的——第 i 块中的所有元素都小于第 i+1 块中的所有元素
• 建立一个索引表，每个索引项包含该块的最大关键字和起始地址

2. 查找过程

索引查找分两步进行：

1. 在索引表中确定待查关键字所在的块——索引表是按块间顺序排列的，可用顺序查找或折半查找
2. 在块内进行顺序查找——块内元素无序，只能用顺序查找

3. 代码实现

// 索引表结构
typedef struct {
    int maxKey;    // 块中最大的关键字
    int start;     // 块的起始下标
    int length;    // 块的长度
} IndexItem;

// 分块查找
int BlockSearch(int a[], int n, IndexItem index[], int m, int key) {
    // 第一步：在索引表中确定所在块（顺序查找）
    int i = 0;
    while (i < m && index[i].maxKey < key)
        i++;
    if (i >= m) return -1;  // 查找失败，所有块的最大关键字都小于 key
    
    // 第二步：在对应块内进行顺序查找
    for (int j = index[i].start; j < index[i].start + index[i].length; j++) {
        if (a[j] == key)
            return j;
    }
    return -1;              // 块内未找到
}

上例中索引表用顺序查找定位块。如果块数较多，也可在索引表上使用折半查找进一步提高效率。

时间复杂度：$O(\sqrt{n})$（均衡分块时）

4. 优缺点及适用场景

优点：

• 插入和删除操作方便——只需在对应块内操作，不需要移动大量元素
• 不需要整个表有序，仅需块间有序，建表成本低于全排序
• 性能介于顺序查找和折半查找之间

缺点：

• 需要额外的存储空间存放索引表
• 需要对表进行分块和排序预处理
• 查找效率不如折半查找

适用场景：当数据量较大、数据经常动态插入和删除（不适合折半查找）、又希望比顺序查找更快时，索引查找是一个折中的好选择。

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四、三种查找方法对比

对比项	顺序查找	折半查找	索引查找
数据结构要求	无	有序顺序表	块间有序
存储结构	顺序表或链表	仅限顺序表	顺序表
时间复杂度	$O(n)$	$O(\log_2 n)$	$O(\sqrt{n})$
优点	实现最简单，适用范围广	效率极高	插入删除方便，效率适中
缺点	效率低	仅适用于有序顺序表	需额外索引空间

选择建议：

• 表无序或使用链表存储 → 顺序查找
• 表有序且采用顺序存储、查找频繁 → 折半查找
• 数据量较大、插入删除频繁、又想有一定的查找效率 → 索引查找