随笔分类 - 数学相关——组合
摘要：前置： "CTS2019D2T3" 先进行一个转化：初始认为树上没有边，每个节点权值为 $1$。枚举一个长度为 $(n 1)$ 的边集排列，按照这个排列依次加入每条边，加入一条边时将这条边所连接的两个连通块所有点的权值 $\times \frac{1}{2}$。 可以发现所有边均加入后每个点的权值就
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摘要："Contest Page" A 唯一会做的题/kk 题目相当于要求相邻三个的异或和为$0$。 当我们放入了三个数$a,b,c$时，接下来的放入顺序显然一定是$a,b,c,a,b,c,...$。所以当数可以分成三份，每份大小$\frac{n}{3}$且其中的数全部相等，从三份中各取一个数的异或和为$
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摘要："Contest Page" 开题开错翻车场.jpg A sol $A \frac{W}{2}$或者$B \frac{H}{2}$的时候无解，否则构造方法长下面这样 c++ include using namespace std; int main(){ static int arr[200003]
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摘要："Contest page" A Tag：贪心 猜想段的长度只会有$1$和$2$（感性理解，应该可以反证……），然后就可以DP/贪心了 B Tag：贪心、组合 考虑如何构造合法方案。从右往左考虑球，因为当前球的位置相比于其他未考虑的球靠右，所以它要尽可能产生负贡献（成为三元组的$a$），否则尽可能产
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摘要："传送门" 神仙DP 注意到$N \leq 10^{18}$，不能够直接数位DP，于是考虑形成的$N$位数的性质。 因为低位一定不会比高位小，所以所有满足条件的$N$位数一定是不超过$9$个$f(x)(x \in [1,N])$的和，其中$f(x) = \sum\limits_{i=0}^{x 1}
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摘要："传送门" 感觉自己越来越愚钝了qwq 先考虑从$n 1$个人里安排恰好$k$个人被碾压，然后再考虑如何分配分数，两者乘起来得到答案。 对于第一部分，可以考虑容斥：设$f_i$表示$i$个人被碾压，其他人随意分配是否被碾压的方案数，我们考虑所有比B成绩高的科目一定是由剩余的$N 1 i$个人构成，所
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摘要：发现自己不会T3可以退群了 "排序问题" （组合、模拟） 可以发现Gobo Sort相当于在所有排列中随机选择一个，所以当第$i$个数出现次数为$a_i$时，期望的Sort次数就是$\frac{(n+m)!}{\prod\limits_{i=1}^{10^9} a_i!}$。 我们希望Sort次数尽
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摘要："传送门" 如果在$0$以下之后仍然会减分，那么最后的结果一定是$N M$。 注意到如果在Alice分数为$0$时继续输，那么就相当于减少了一次输的次数。也就是说如果说在总的博弈过程中，Alice在分数等于$0$时输了$x$次，那么最后的结果就是$N M+x$。 不妨考虑一个序列$a_i$，如果$a
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摘要："传送门" 看到$k$次幂求和先用斯特林数拆幂：$x^k = \sum\limits_{i=1}^k \binom{x}{i}\left\{ \begin{array}{cccc} k \\ i \end{array} \right\}i!$。 那么原式等于$\sum\limits_{X} \sum
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摘要："传送门" 发现这是一个背包问题，而$k$又很大，考虑生成函数方式解决这个问题。 对于体积为$1$的物品的生成函数为$\frac{1}{1 x}$，体积为$2$的物品的生成函数为$\frac{1}{1 x^2}$，那么我们要求的就是$ "x^k" ^n (\frac{1}{1 x^2})^m$。 而
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摘要：代码比较长所以直接去LOJ看吧～ "鱼" （计算几何、向量） 比较套路的内容：枚举$D$，对于其他所有点按照$D$极角排序，按照极角序枚举$A$，这样垂直于$AD$的线也会以极角序旋转，可以使用双指针+map的方式维护合法的$EF$点对数量。 相对麻烦的是如何对于每个$AD$找到合法的$BC$的数量
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摘要："传送门" 先不考虑循环同构的限制，那么对于一个满足条件的序列，如果它的循环节长度为$d$，那么与它同构的环在答案中就会贡献$d$次。 所以如果设$f_i$表示循环节长度 恰好 为$i$的满足条件的序列个数（不考虑循环同构），那么最后的答案就是$\sum \frac{f_i}{i}$。 所以问题变成
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摘要："传送门" 好久没有做过图论题了…… 考虑$k$次方的组合意义，实际上，要求的所有方案中导出子图边数的$k$次方，等价于有顺序地选出其中$k$条边，计算它们在哪一些图中出现过，将所有方案计算出来的答案加起来。 对于$k$条边来说，如果它们占据了$x$个点，那么它们就会出现在$2^{n x}$张图中。
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摘要："传送门" 值得注意的是一般的DAG的拓扑序列数量是NP问题，所以不能直接入手 题目中给出的图可以看做是一个树形图，虽然方向比较迷。考虑使用树形图的性质 不妨任选一个点为根做树形DP，注意到数的位置与方案数相关，所以也要设在状态内。故设$f_{i,j}$表示对于$i$及$i$的子树所有点构成的拓扑序
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摘要："4921" "4931" 第一眼看着就像容斥，但是容斥不怎么好做…… 第二眼想到错排，结果错排公式糊上去错了…… 不难考虑到可以先选$K$对情侣坐在一起，剩下$N K$对错排 选$K$对情侣坐在一起的方案数是： 选情侣的方案数$C_N^K \times$选椅子的方案数$C_N^K\times$情侣
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摘要："VJ传送门" 因为有每种颜色个数的限制，所以不能使用Polya 考虑退一步，使用Burnside引理求解 回忆一下Burnside引理，它需要求的是置换群中每一个置换的不动点个数，也就是施加一次置换之后新状态与原状态相同的状态个数。而施加一次置换之后状态不变的充要条件是：对于这个置换中的每一个循环
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