摘要：题目 求所有的正实数$\lambda,$ 使得满足对于任意$n\geq 2024^{2024},$ $$a_{n+1}=\lambda\cdot \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$的正实数序列$\{a_n\}$总是有界的. 解 $0 方便起见, 我们记$N=2024^{2 阅读全文

摘要：题目 求最大的实数$\alpha$, 使得对于任意非负实数$x,y,z,$ 下面的不等式恒成立： \begin{align*} (x+y+z)^3+\alpha(x^2z+y^2x+z^2y)\geq\alpha(x^2y+y^2z+z^2x).\end{align*} 解 $\alpha_{\ma 阅读全文

摘要：题目 正实数$a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$被写在黑板上. 一步操作包括选择黑板上的两个数$x$和$y,$擦除它们, 并在黑板上写下数字 $\dfrac{x^2+6xy+y^2}{x+y}$. 经过$2023$步操作后, 黑板上只剩下一个数$c.$ 证明：$c 证明 注意到\ 阅读全文

摘要：题目 设 $\mathbb{R}^+$为所有正实数构成的集合. 求所有函数$f: \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+,$ 使得对于所有满足$abc=1$的$a,b,c \in \mathbb{R}^+,$ 有 \[ \frac{f(a)}{1+a+ca}+\frac{f(b)}{ 阅读全文

摘要：题目 已知$\alpha$是一个非零实数. 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ 使得对任意$x,y\in\mathbb{R},$ 有$$xf(x+y)=(x+\alpha y)f(x)+xf(y).$$ 解 当$\alpha=2$时, $f(x)=cx^2,$ $c$ 阅读全文