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posted @ 2024-11-29 10:47
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写在前面 ——"平方和的积大于等于积的和的平方．" 柯西-施瓦茨不等式，最初于1821年被柯西提出，故大多数时候被简称为“柯西不等式”。其积分形式在1859被布尼亚科夫斯基提出，其证明由施瓦兹于1888年给出。由于柯西不等式的积分形式在分析学中占有十分重要的地位，故历史上，该不等式又称为柯西-布尼亚 阅读全文
posted @ 2026-10-07 00:02
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自然数倒数平方和2 写在前面 欧拉心算前十几项自然数倒数平方和，并注意到上一篇的神奇配凑后得出了 $ {\sum_{k=1}^{+\infin } \frac{1}{k^2} } = \frac{\pi ^2}{6} $ 的结果，但这并不严谨，尤其是涉及到无穷级数的收敛性．现在让我们利用夹逼定理，严 阅读全文
posted @ 2026-10-06 13:29
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Problem 已知 $ T: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} =1 $ , 直线 \(PQ\) 过 \(T\) 右焦点 \(F\) 交 \(T\) 于 \(P\)、\(Q\) 两点, $ P$ 在 \(x\) 轴上方. \(E : (x+1)^2+y^2=9\) , 直 阅读全文
posted @ 2025-12-18 23:44
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Problem 已知函数 $ f(x)= \ln ( x+1) -x+\frac{x^2}{2} - kx^3 \hspace {0.2cm} (0<k< \frac{1}{3} ) $ . (1)证明: $ f(x) $ 在 $ (0,+\infin)$ 上有唯一极值点和零点. (2)设 $ x_ 阅读全文
posted @ 2025-11-16 23:32
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Problem 已知函数 $ g(x) =\sin x $ , 点列 $ A_n( 2^{-n} , g(2^{-n} ) ) \hspace {0.2cm} (n\in N^*) $ . 设直线 $ A_nA_{n+1} $ 斜率为 $ k_n$ ,求证: $ \sum_{i=1}^{n}k_i 阅读全文
posted @ 2025-11-15 00:32
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Problem 已知双曲线 $ x^2 -\frac{y^2}{3}=1 $ ,双曲线上一点 $ P(x_0,y_0) \hspace {0.1cm} (x_0>0) $ , 双曲线在点 $ P $ 处的切线 $ l:x_0x - \frac{y_0y}{3} =1 $ . 若 $ l' \bot 阅读全文
posted @ 2025-11-14 23:41
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Problem 已知函数 $ f(x) =x \ln x - a x^2 -x +a \hspace {0.1cm} (a\in R)$ . 若 \(f(x)\) 有两个极值点 \(x_1,x_2(x_1<x_2)\) ，证明：当 $ \lambda \geq 1$ 时， $ \ln x_1 + \ 阅读全文
posted @ 2025-11-11 23:41
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Problem 已知 $ f(x) =ae^{x-1}+\frac{1}{a}-3 \ln x - 3 ,a>0 $ . 证明： $ \forall \theta \in (0,\frac{\pi}{2}) , f(\sin \theta) + f(\cos \theta ) >-1$ . 分析 和 阅读全文
posted @ 2025-11-11 23:18
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Problem 已知双曲线 $ E: \frac{ x^2 }{ a^2 } - \frac{ y^2 }{ b^2 }=1 \hspace{0.1cm} (a>0 , b>0)$ 的左、右焦点分别为 $ F_1,F_2 $ ， 过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点 $ A $ ，若三角 阅读全文
posted @ 2025-10-31 23:57
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Problem 19.2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行。在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友。运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球、羽毛球、篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球、羽毛球、篮球）徽章。 阅读全文
posted @ 2025-10-30 23:55
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