柯西不等式

写在前面

——"平方和的积大于等于积的和的平方．"
柯西-施瓦茨不等式，最初于1821年被柯西提出，故大多数时候被简称为“柯西不等式”。其积分形式在1859被布尼亚科夫斯基提出，其证明由施瓦兹于1888年给出。由于柯西不等式的积分形式在分析学中占有十分重要的地位，故历史上，该不等式又称为柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式。
柯西不等式的推导方法有许多。其作为代数式可以视为均值不等式的进一步推论，也可以用内积空间的观点来自然导出。除此以外，柯西不等式可以推广到如高维形式、积分形式、概率论形式等其它多种形式，并可以视为数学上的许多其它重要不等式（如赫尔德不等式）的特殊情形。
柯西不等式可以用于推导其它不等式、求极值、解方程等。

本文提供了柯西不等式的 部分 证明方法，仅供参考．

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Proof1

二维情形的柯西不等式可以直接证明：

\[\begin{aligned} ( a^2 + b^2 ) (c^2+d^2) -( ac + bd )^2 &= (ad-bc) ^2 \geq 0 \\ (a^2+b^2) (c^2+d^2) &\geq ( ac + bd ) ^2 \end{aligned} \]

或者令 $ \vec{e_1}=(a,b) \hspace{0.3cm} \vec{e_2}=(c,d) $，
则有：

\[\begin{aligned} (ac+bd)^2 & = ({ \vec{e_1} \cdot \vec{e_2} })^2 \\ & = ( |{ \vec{e_1} }| |{ \vec{e_2} } | \cos{\theta})^2 \\ & = |{ \vec{e_1} } |^2 |{\vec{e_2} }|^2 \cos^2{\theta} \\ & \leq |{ \vec{e_1} }|^2 |{\vec{e_2} }|^2 \\ & = (a^2+b^2) (c^2+d^2) \\ \end{aligned} \]

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Proof2

让我们考虑一般的情况：

\[( \sum_{i=1}^{n} {a_i} ^2 ) ( \sum_{i=1}^{n} {b_i} ^2 ) \geq (\sum_{i=1}^{n} a_i b_i )^2 \]

使用数学归纳法，设命题 $ P_k (k \in \N ^*)$：

\[( \sum_{i=1}^{k} {a_i} ^2 ) ( \sum_{i=1}^{k} {b_i} ^2 ) \geq (\sum_{i=1}^{k} a_i b_i)^2 \]

显然 $ P_1$ 为真命题，考察当 \(P_k\) 为真命题时能否推出 $ P_{k+1}$ 也为真命题：

\[\begin{aligned} Q &=( \sum_{i=1}^{k} {a_i} ^2 + { a_{k+1} }^2) ( \sum_{i=1}^{k} {b_i} ^2 + { b_{k+1} }^2 ) - (\sum_{i=1}^{k} a_i b_i +a_{k+1} b_{k+1} )^2 \\ &= ( \sum_{i=1}^{k} {a_i} ^2 ) ( \sum_{i=1}^{k} {b_i} ^2 ) - (\sum_{i=1}^{k} a_i b_i)^2 + ( {a_{k+1}}^2 ) ({\sum_{i=1}^{k}} {b_i}^2) \\ &+ ( {b_{k+1}}^2 ) ({\sum_{i=1}^{k}} {a_i}^2) -2a_{k+1}b_{k+1}(\sum_{i=1}^{k} a_i b_i) \\ &= ( \sum_{i=1}^{k} {a_i} ^2 ) ( \sum_{i=1}^{k} {b_i} ^2 ) - (\sum_{i=1}^{k} a_i b_i)^2 + \sum_{i=1}^{k}(a_{k+1} b_i -b_{k+1} a_i)^2 \\ &\geq 0 \end{aligned} \]

所以

\[\begin{aligned} ( \sum_{i=1}^{k} {a_i} ^2 + { a_{k+1} }^2) ( \sum_{i=1}^{k} {b_i} ^2 + { b_{k+1} }^2 ) &\geq (\sum_{i=1}^{k} a_i b_i +a_{k+1} b_{k+1} )^2 \\ ( \sum_{i=1}^{k+1} {a_i} ^2 ) ( \sum_{i=1}^{k+1} {b_i} ^2 ) &\geq (\sum_{i=1}^{k+1} a_i b_i )^2 \end{aligned} \]

于是对于任意 \(n \in \N^*\) ，$ P_n$ 总为真命题，得证．

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Proof3

注意力惊人的读者已经找到了一个更快的路径：

\[\begin{aligned} Q &=( \sum_{i=1}^{n} {a_i} ^2 ) ( \sum_{i=1}^{n} {b_i} ^2 ) - (\sum_{i=1}^{n} a_i b_i )^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i } } ^{n} (a_ib_j)^2 -2\sum_{\substack{1\leq i <n \\ i<j \leq n } }(a_ib_ia_jb_j) \\ &= \sum_{\substack{1\leq i <n \\ i<j \leq n } } (a_i b_j - a_jb_i)^2 \geq 0 \end{aligned} \]