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摘要： RANSAC（Random Sample Consensus）是一种鲁棒的参数估计方法，特别适用于数据中包含大量离群点（outliers）的场景。其核心思想是通过反复随机采样一小部分数据来生成候选模型，然后评估该模型支持的内点数量，最终选择内点最多的模型。下面给出RANSAC的数学推导，涵盖迭代次数计算、内点判定准则以及算法收敛性分析。 RANSAC的核心思想是：随机选取一小部分点（最小子集）来生成候选模型，然后用整个数据集验证该模型，统计符合该模型的点（内点）数量。重复多次，选择内点最多的模型作为最终估计。 阅读全文

摘要： ​ 通过PCA（主成分分析）进行平面拟合是一种经典高效的方法，特别适用于三维点云数据。其核心思想是找到点云中方差最小的方向，该方向即为拟合平面的法线方向，该方向即为拟合平面的法线方向，而平面经过点云的质心。下面介绍原理、步骤，首先对其数学原理进行逐步推导。 阅读全文

摘要： 最优化问题（Optimization Problem）是应用数学中的一个核心领域，其目标是在满足一定约束条件的情况下，从一组可能的方案（或解）中找出使某一特定指标（目标）达到最优（最大或最小）的解。作为最优化问题，一般要素有三个要素：（1）优化变量（又称设计变量）、（2）目标函数、（3）约束条件。 阅读全文

摘要： `QPainter`是Qt框架中用于二维图形绘制的核心类，其提供了一套完整、强大的API来在各种绘制设备上进行图形操作。无论是简单的线条绘制还是复杂的图形变换，广泛用于自定义控件、绘制背景、图形编辑器等场景 阅读全文

摘要： `QPen` 是Qt绘图系统中用于定义线条（如轮廓线，边框线）样式（颜色、宽度、风格等）的类。其构造函数`QPen()`。 是Qt框架中用于定义如何绘制形状轮廓（线条）的一个非常重要的类。它控制`QPainter` 绘制线条、曲线和形状轮廓的外观，它包括线宽、颜色、样式、端点风格和连接风格等。 阅读全文

摘要： 已经确定的情况下，如何确定步长tk? 步长因子的选取有多种方法，如取步长为常数，但这样选取的步长并不最好，如何选取最好步长呢？实际计算通常采用一维搜索来确定最优步长。 阅读全文

摘要： 经典最优化极值问题中，解析法虽然具有概念简明，计算精确等优点，但因只能适用于简单或特殊问题的寻优，对于复杂的工程实际问题通常无能为力，一般采用迭代算法，逐渐逼近最优解。 阅读全文

摘要： 现有最优化方法对一般函数只能找到局部最优解，判断有无极值点以及它是否为全局最优解要用到函数凸性概念。一般在现实优化问题上，我们一般把优化问题变成凸优化问题，因为凸优化，**凸优化（Convex OPtimization）**是数学优化中的一个重要分支，研究的是在凸集上极小值的问题。下面首先介绍凸集。从直观上看，凸集是这样一些点的集合，它的内部没有“洞”（hole），边界不向内凹。凸集的基本特征，是其上任取两点所联成线段上的点依然属于这个集合。在数学上就是采用这种描述方法给凸集下定义的。首先给出凸组合的概念，在给出凸集和凸函数的定义，并简单讨论凸函数判定方法 阅读全文

摘要： 函数f(X)在局部极小值点应满足什么条件？反之，满足什么条件的是局部极小点?这就是凸优化的基本问题。下面针对多元函数的情形给出各类极小值点的定义。 阅读全文

摘要： 上一节说过，梯度 $\nabla f(\mathbf{X})$ 是$f(\mathbf{X})$ 关于$\mathbf{X}$ 的一阶导数，现在一个问题$f(\mathbf{X})$ 关于 $\mathbf{X}$ 的二阶导数是什么？Hessian 矩阵（海森矩阵）是一个多变量实值函数$f(\mathbf{X})$的二阶导数构成得方阵，其几何意义是描述了一个多元函数或场函数的局部曲率。在机器学习、优化问题和物理反演问题中，Hessian矩阵扮演着重要的角色，尤其是在寻找函数的极值点（如损失函数或目标函数的最小值）和分析系统的稳定性。 阅读全文