做题笔记（Physics）

记号约定：

• 加粗的字母（如 \(\mathbf{v}, \mathbf{0}\)）：向量。
• \(\operatorname{norm}(\mathbf{v})\)：与 \(\mathbf{v}\) 同向的单位向量，即 \(\dfrac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\)。

#1 三个点的重心

设 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\) 分别为三个质点的位置，\(m_1, m_2, m_3\) 分别为这三个质点的质量。

则这三个点的重心为 \(\dfrac{m_1 \mathbf{v}_1 + m_2 \mathbf{v}_2 + m_3 \mathbf{v}_3}{m_1 + m_2 + m_3}\)。有一种加权平均的感觉。

#2 摩擦角法

设接触面有相对滑动，木块受到的支持力大小为 \(|\mathbf{N}| = N\)，受到的摩擦力大小为 \(|\mathbf{f}| = f\)，则支持力和摩擦力的合力（记为 \(\mathbf{F} = \mathbf{f} + \mathbf{N}\)）与接触面的夹角不变。形式化的，\(\alpha = \lang \mathbf{F}, \mathbf{f} \rang\) 不变。

原因：\(f = \mu N\)，那么 \(\tan(\alpha) = \dfrac{N}{f} = \dfrac{1}{\mu}\) 是定值。

这样就有方向不变的力，可以简化问题。

#3

竖直轻杆 \(AO\) 的上端 \(A\) 上有一定滑轮，轻杆 \(OB\) 在 \(O\) 处用铰链连接。一轻绳系于 \(B\) 点，跨过定滑轮，受到向左上的拉力 \(\mathbf{T}\)，使得 \(\theta = \angle AOB \in (0, \pi)\) 缓慢变小。另一轻绳系于 \(B\) 点，另一端悬挂一重物，重力为 \(G\)。求 \(BO\) 受到的压力 \(\mathbf{N}\) 和 \(\mathbf{T}\)。

吐槽一下：原题面写的很模糊，导致我补题时理解题意用了 15 min。

“缓慢变小”可以近似为 \(B\) 点的合外力为 \(\mathbf{0}\)。

首先要把 \(\mathbf{N}\) 转化成 \(BO\) 提供的支持力 \(\mathbf{N}'\)。把图画准一点，可以观察到有相似三角形。证明显然。

于是有

\[\dfrac{|\mathbf{G}|}{OA} = \dfrac{|\mathbf{N}|}{OB} = \dfrac{|\mathbf{T}|}{AB} \]

得

\[|\mathbf{N}| = \dfrac{OB}{OA} |\mathbf{G}| \]

于是

\[\mathbf{N} = \dfrac{OB}{OA} |\mathbf{G}| \cdot \operatorname{norm} \left( \overrightarrow{BO} \right) \]

可以发现 \(|\mathbf{N}|\) 为常数。\(|\mathbf{T}|\) 就用余弦定理：

\[\begin{aligned} \mathbf{T}^2 &= \mathbf{G}^2 + \mathbf{N}^2 - 2 |\mathbf{G}| |\mathbf{N}| \cos(\theta) \\ &= \mathbf{G}^2 + \dfrac{OB^2}{OA^2} \mathbf{G}^2 - \dfrac{2OB}{OA} \mathbf{G}^2 \cos(\theta) \\ &= \dfrac{OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cos(\theta)}{OA^2} \mathbf{G}^2 \end{aligned} \]

则

\[\mathbf{T} = \dfrac{|\mathbf{G}|}{OA} \sqrt{OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cos(\theta)} \cdot \operatorname{norm} \left( \overrightarrow{BA} \right) \]

可以发现 \(|\mathbf{T}|\) 一直变小。