ARC 200 B ~ D 题解

比赛传送门。

B. LCM

给一个比较暴力的做法。

首先，肯定是先固定 \(X_1\)，再求出 \(X_3\)，最后求出 \(X_2\)。

因为限制位数，所以想要有一个可以快速调整位数的形式，那可以令 \(X_1, X_2, X_3\) 只有质因子 \(2\)。

但是这样的话 \(X_3\) 比较难以调整，所以加一个质因子，令 \(X_1, X_2, X_3\) 只有质因子 \(2\) 和 \(3\)。

然后求 \(X_3\)，我们考虑给 \(X_1\) 乘几个 \(2\) 或 \(3\)，此时 \(X_2\) 的一个质因子的个数就固定了（乘的哪个，哪个就固定）。枚举 \(X_2\) 另一个质因子的数量即可。

代码。

C. Movie Theater

观察可以得到，若区间 \(i\) 包含区间 \(j\)，则 \(P_i > P_j\)。其他情况都没有限制。

那么连一条 \(i \to j\) 的边。

注意到这张图一定无环，不然就会有形如 \(P_i > P_j > P_k > P_i\) 的非法情况出现。

那么按拓扑序分别给每个节点赋上 \(n, n - 1, n - 2, \cdots, 2, 1\) 即可。

注意拓扑排序时要用 priority_queue，这样可以保证序号更大的点 \(P\) 也更大，让字典序最小。

时间复杂度：\(O(n^2)\) 建图，\(O(n \log n)\) 拓扑排序。

话说为什么 \(\sum n\) 只给到了 \(500\)？

代码。

D. |A + A|

首先，如果 \(K = M\)，那么只需要构造 \(A = (0, 1, \cdots, M - 1)\) 即可，这是显然的。

那么，我们考虑令 \(A\) 为一段连续的数。设 \(A = [0, r]\)，其中 \(2r < m\)，那么 \(A_i + A_j \in [0, 2r]\)。我们希望这个区间里有 \(K\) 个数，即 \(2r + 1 = K \iff r = \dfrac{K - 1}{2}\)。容易发现，这种构造只能做 \(K\) 为奇数。

接下来做 \(K\) 为偶数。

如果我们在 \(A\) 中抠掉一个数呢？令 \(A = \{ 0 \} \cup [2, r]\)，其中 \(2r < m\)，此时 \(A_i + A_j \in [4, 2r] \cup \{ 0 \} \cup [2, r]\)。

• 若 \(r = 2\)：\(A_i + A_j \in \{ 0, 2, 4 \}\)，共有 \(3\) 个数，舍去。
• 否则 \(r \ge 3\)：\(A_i + A_j \in \{ 0 \} \cup [2, 2r]\)，共有 \(2r\) 个数。

我们希望这个区间里有 \(K\) 个数，即 \(2r = K \iff K = \dfrac{r}{2}\)。容易发现，这种构造只能做 \(K \ge 6\)，因为我们需要 \(r \ge 3\)。

那 \(K = 2, 4\) 怎么做呢？

• \(K = 2\)：\(3\) 个数是不可能的，只能 \(2\) 个数。可以令 \(A = \left( 0, \dfrac{M}{2} \right)\)，这样可以做 \(M\) 为偶数。\(M\) 为奇数明显没法做。
• \(K = 4\)：\(2\) 个数是不可能的，需要 \(3\) 个数。可以令 \(A = \left( 0, \dfrac{M}{4}, \dfrac{M}{2} \right)\)，这样可以做 \(4 \mid M\)。其他情况明显没法做。

代码。