数学技巧大全

记号约定：

• \(a \perp b\)：直线 \(a\) 与 \(b\) 垂直；整数 \(a\) 和 \(b\) 互质。
• \(a \parallel b\)：直线 \(a\) 与 \(b\) 平行；整数 \(a, b\) 满足 \(a \mid b, a^2 \nmid b\)。
• \(\nu_p(n)\)：质数 \(p\) 在整数 \(n\) 的质因数分解中的幂次。
• \(\varphi(n)\)：小于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数的个数。
• \(\mathbb{P}\)：全体质数集合。

更新记录：

• 2025.8.11。

证明篇

1. 证明唯一性可以设出两个满足条件的构造，后证明这两个构造等价，或会产生矛盾。

2. 证明存在性有两种方法：给出构造、归纳法。

3. 想证明 \(\forall x, x < y\)，只需证明 \(x < \min(y)\)。

   想证明 \(\exist x, x < y\)，只需证明 \(x < \max(y)\)。

   其它不等号类似。

数论篇

1. 可以把证明 \(p \mid \sum \limits_i A_i\) 加强为证明 \(\forall i, p \mid A_i\)。（可以配合二项式定理使用）

2. 通过让 \(p^k \parallel A_j\) 且 \(\forall i \ne j, p^{k + 1} \mid A_i\)，就可以得出 \(\nu_p \left( \sum \limits_i A_i \right) = k\)。

3. 想证明 \(m \mid n!\)，可以通过证明 \(m = \prod \limits_{i = 1}^k m_i\) 满足 \(m_1 \ne m_2 \ne \cdots \ne m_k\) 且 \(m_1, m_2, \cdots, m_k \le n\) 得到。（常用 \(k = 2\)）

4. 可以考虑大胆放缩，如 \(\sum \limits_i \left \lfloor \dfrac{n}{p^i} \right \rfloor \ge \left \lfloor \dfrac{n}{p} \right \rfloor\)。

5. 不定方程可以和整除问题互相转化。

6. 形如 \(c \mid ab\) 的问题可以这样分析：

   • 设 \(\gcd(a, c) = u, a = uv, c = uw\)。
   • 则 \(v \perp w\) 且 \(w \mid vb \implies w \mid b\)。

7. 刻画整数 \(m, n\) 的方式：

   • 设 \(m = m, n = n\)。（不刻画）
   • 设 \(\gcd(m, n) = d, m = dm', n = dn'\)。（粗略刻画）（推论：\(m' \perp n'\)）
   • 设 \(m = \prod \limits_i p_i^{\alpha_i}, n = \prod \limits_i q_i^{\beta_i} \quad (p_i, q_i \in \mathbb{P})\)。（精细刻画）

组合篇

1. 如果直接计数比较难，那么可以“正难则反”，考虑不符合条件的数量，再用总数相减，即得答案。

几何篇

1. 证明中点的方法：

   • 构造等腰三角形。
   • 构造中位线。
   • 使用全等。

2. 已知角更多时，要往角的方向思考；已知边更多时，要往边的方向思考。

3. 无论如何，都要把条件集中到一起，把需要求或证明的东西集中到一起（如集中到同一个三角形中）。

4. 对于动点，可以通过多画图的方式研究它的轨迹。

5. 三角函数如何变形：

   • 变为一次方。
   • 变为最小角。

6. 当 \(x, y\) 不容易计算出三角函数值，但 \(x + y, x - y\) 中有至少一个可以计算出三角函数值时，可以考虑和差化积。

7. 做三角函数题时，优先选择非多解做法，如果发现这个方法可能有多个解，建议换方法。

8. 证明两向量平行时，若给了额外的点，就优先用带额外点的共线定理，否则优先用不带额外点的。

9. 要把向量点乘转化成两个知道夹角或模长的向量点乘。

10. 如果有形如 Menelaus 定理的形式，且所有点都连到了同一个点 \(O\) 上，则要把定理转换成关于点 \(O\) 的分角定理。

代数篇

1. 灵活使用不等式的放缩。
2. 要把复数和它的共轭复数配对。

微积分篇

1. 求 \(\lim \limits_{x \to a} f(x)\) 时，因为只要求 \(f\) 在 \(a\) 的去心邻域有定义，所以可以进行一些会改变定义域的变换，如 \(\dfrac{x^2 - x - 6}{3x^2 + 5x - 2} \to \dfrac{x - 3}{3x - 1}\)。

其它技巧

1. 对于构造题，可以遵循法则“投石问路”，其中：

   • “投石”：试探性地将条件加强，以更好构造。
   • “问路”：判定加强后的条件可不可行。若不可行，则撤回；否则继续。

2. 一般情况下，前面的小问对后面的小问有引导或提示作用。

3. 做解答题时，可以先猜一个答案再证明。