【loj6245】红太阳 数学

题目描述

给出 $n$ 、$a$ 、$c$ ，求 $\sum\limits_{i=0}^n\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor$ ，保证 $c|n$ 。

$n,a,c\le 10^9$ 。

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题解

数学

因为：

$$\begin{align}&\sum\limits_{i=0}^n\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor\\=&\sum\limits_{i=0}^n\frac{a\times n}c-\lceil\frac{a\times(n-i)}c\rceil\\=&\sum\limits_{i=0}^n\frac{a\times n}c-\lceil\frac{a\times i}c\rceil\\=&\sum\limits_{i=0}^n\frac{a\times n}c-(\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor+1-[c|(a\times i)])\\=&(n+1)(\frac{a\times n}c-1)+\sum\limits_{i=0}^n[c|(a\times i)]-\sum\limits_{i=0}^n\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor\\=&(n+1)(\frac{a\times n}c-1)+\frac n{\frac c{\gcd(a,c)}}+1-\sum\limits_{i=0}^n\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor\\=&\frac nc\times(a\times(n+1)-c+\gcd(a,c))-\sum\limits_{i=0}^n\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor\end{align}$$

所以：

$$\sum\limits_{i=0}^n\lfloor\frac{a\times i}c\rfloor=\frac{\frac nc\times(a\times(n+1)-c+\gcd(a,c))}2$$

#include <cstdio>
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
ll gcd(ll a , ll b)
{
	ll t;
	while(b) t = a , a = b , b = t % b;
	return a;
}
int main()
{
	ll n , a , c;
	scanf("%lld%lld%lld" , &n , &a , &c);
	printf("%lld\n" , (a * (n + 1) - c + gcd(a , c)) % mod * n / c % mod * 500000004 % mod);
	return 0;
}