【bzoj2045】双亲数 莫比乌斯反演

题目描述

小D是一名数学爱好者，他对数字的着迷到了疯狂的程度。 我们以d = gcd(a, b)表示a、b的最大公约数，小D执著的认为，这样亲密的关系足可以用双亲来描述，此时，我们称有序数对(a, b)为d的双亲数。 与正常双亲不太相同的是，对于同一个d，他的双亲太多了 >_< 比如，(4, 6), (6, 4), (2, 100)都是2的双亲数。 于是一个这样的问题摆在眼前，对于0 < a <= A, 0 < b <= B，有多少有序数对(a, b)是d的双亲数？

输入

输入文件只有一行，三个正整数A、B、d (d <= A, B)，意义如题所示。

输出

输出一行一个整数，给出满足条件的双亲数的个数。

样例输入

5 5 2

样例输出

3

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题解

莫比乌斯反演

由于a/d和b/d最多只有O(√a+√b)种取值，所以可以预处理出mu的前缀和，然后分块处理。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int n = 1000000;
int mu[n + 10] , sum[n + 10] , prime[n + 10] , tot;
bool np[n + 10];
long long cal(int a , int b)
{
	int i , last;
	long long ans = 0;
	for(i = 1 ; i <= a && i <= b ; i = last + 1) last = min(a / (a / i) , b / (b / i)) , ans += (long long)(sum[last] - sum[i - 1]) * (a / i) * (b / i);
	return ans;
}
int main()
{
	int i , j , a , b , d;
	mu[1] = sum[1] = 1;
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
	{
		if(!np[i]) mu[i] = -1 , prime[++tot] = i;
		for(j = 1 ; j <= tot && i * prime[j] <= n ; j ++ )
		{
			np[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0)
			{
				mu[i * prime[j]] = 0;
				break;
			}
			else mu[i * prime[j]] = -mu[i];
		}
		sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
	}
	scanf("%d%d%d" , &a , &b , &d) , printf("%lld\n" , cal(a / d , b / d));
	return 0;
}