【bzoj4318】OSU! 期望dp

题目描述

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。 

我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子: 

一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释） 

现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。 

输入

第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。 

输出

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。 

样例输入

3
0.5
0.5
0.5

样例输出

6.0

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题解

期望dp

若第i个时连续的为x个，则第i+1个继续连续时对答案的贡献为(x+1)^3-x^3=3*x^2+3*x+1。

那么可以开数组记录一下连续个数的期望和连续个数平方的期望。

这里需要注意的是，平方的期望不等于期望的平方（不明觉厉）。

所以平方的期望需要递推来求，方法和上面类似，很容易就推出来，不懂可以看代码。

#include <cstdio>
double f[100010] , a[100010] , b[100010];
int main()
{
    int n , i;
    double p;
    scanf("%d" , &n);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
    {
        scanf("%lf" , &p);
        f[i] = f[i - 1] + (1 + 3 * a[i - 1] + 3 * b[i - 1]) * p;
        a[i] = (a[i - 1] + 1) * p;
        b[i] = (b[i - 1] + 2 * a[i - 1] + 1) * p;
    }
    printf("%.1lf\n" , f[n]);
    return 0;
}