【bzoj1096】[ZJOI2007]仓库建设 斜率优化dp

题目描述

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）; 2：工厂i目前已有成品数量Pi; 3：在工厂i建立仓库的费用Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

输入

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

输出

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

样例输入

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

样例输出

32

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题解

斜率优化dp

设f[i]为i处建仓库时前i个位置的最小总代价。

那么就有f[i]=f[j]+p[i]+∑(p[k]*(x[i]-x[k])) (j+1≤k≤i)

                =f[j]+p[i]+x[i]*∑p[k]-∑(p[k]*x[k]) (j+1≤k≤i)

                =f[j]+p[i]+x[i]*(sum[i]-sum[j])-(t[i]-t[j])

其中sum是p的前缀和，t是p*x的前缀和。

移项得f[j]+t[j]=x[i]*sum[j]+(f[i]+t[i]-x[i]*sum[i]-p[i])。

这是y=kx+b的形式，且要求的是b的最小值，于是维护一个下凸包即可。

#include <cstdio>
#define y(i) (f[i] + t[i])
#define x(i) sum[i]
int q[1000010] , l , r;
long long xi[1000010] , pi[1000010] , ci[1000010] , f[1000010] , sum[1000010] , t[1000010];
int main()
{
	int n , i;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		scanf("%lld%lld%lld" , &xi[i] , &pi[i] , &ci[i]);
		sum[i] = sum[i - 1] + pi[i];
		t[i] = t[i - 1] + pi[i] * xi[i];
	}
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		while(l < r && y(q[l + 1]) - y(q[l]) < (x(q[l + 1]) - x(q[l])) * xi[i]) l ++ ;
		f[i] = f[q[l]] + (sum[i] - sum[q[l]]) * xi[i] - t[i] + t[q[l]] + ci[i];
		while(l < r && (y(i) - y(q[r])) * (x(q[r]) - x(q[r - 1])) < (x(i) - x(q[r])) * (y(q[r]) - y(q[r - 1]))) r -- ;
		q[++r] = i;
	}
	printf("%lld\n" , f[n]);
	return 0;
}