小作业 23

若定义在 \(\mathbb{R}\) 上的函数 \(y=h(x)\) 满足：对任意 \(x\in\mathbb{R}\)，\(h(x+2\pi)=h(x)+h(2\pi)\) 均成立，则称函数 \(y=h(x)\) 具有性质 \(P\)。

1. 设 \(\omega\in(0,1)\)，\(f(x)=\sin(\omega x)\)。证明：函数 \(y=f(x)\) 不具有性质 \(P\)；
2. 设函数 \(y=f(x)\) 具有性质 \(P\)，且其在区间 \([0,2\pi]\) 上的取值范围是 \([f(0),f(2\pi)]\)。设 \(g(x)=\sin f(x)\)。若函数 \(y=g(x)\) 在区间 \((0,2\pi)\) 上有且仅有一个零点，且 \(2\pi\) 是函数 \(y=g(x)\) 的一个周期，证明：\(f(2\pi)=2\pi\)。

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\(f(-\pi+2\pi)=\sin(\omega\pi)\)，\(f(-\pi)+f(2\pi)=-\sin(\omega\pi)+\sin(2\omega\pi)\)。

下证：\(\sin(\omega\pi)\neq -\sin(\omega\pi)+\sin(2\omega\pi)\)。

即证：\(2\sin(\omega\pi)\neq\sin(2\omega\pi)=2\sin(\omega\pi)\cos(\omega\pi)\)。

\(\omega\pi\in(0,\pi)\)，所以 \(\sin(\omega\pi)\neq 0\) 且 \(\cos(\omega\pi)\neq 1\)，证毕。

因此 \(y=f(x)\) 不具有性质 \(P\)。

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\(f(0)+f(2\pi)=f(2\pi)\)，\(f(0)=0\)，所以 \(f(2\pi)>0\)。

\(\sin f(x)\) 在 \((0,2\pi)\) 上只有一个零点，所以 \(f(2\pi)\le 2\pi\)。

\(g(x)=g(x+2\pi)\)，\(\sin f(x)=\sin(f(x+2\pi))=\sin(f(x)+f(2\pi))\)。

若 \(f(2\pi)<2\pi\)，则 \(\sin f(0)=0\neq \sin(f(0)+f(2\pi))\)。

综上，\(f(2\pi)=2\pi\)。