小作业 22

已知函数 \(f(x)=\dfrac{x^3+1}{x}+ae^{1-x}\)（\(x>0\)）。

1. 若 \(a=1\)，求 \(f(x)\) 的单调区间；
2. 若 \(f(x)\ge 3\ln x\)，求 \(a\) 的取值范围；
3. 若 \(a=-2\)，设 \(0<s<1<t\)，且 \(f(s)+f(t)=0\)，证明：\(f(st)<f\left(\dfrac1s\right)+f\left(\dfrac1t\right)\)。

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\(a=1\) 时，\(f(x)=x^2+\dfrac1x+e^{1-x}\)，\(f'(x)=2x-\dfrac{1}{x^2}-e^{1-x}\) 为增函数，且 \(f'(1)=0\)，所以 \(f(x)\) 有减区间 \((0,1]\)，增区间 \([1,+\infty)\)。

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代入 \(x=1\) 得 \(a\ge -2\)，下证 \(a\ge -2\) 时恒成立。

即证：\(a=-2\) 时恒成立，此时令 \(g(x)=f(x)-3\ln x=x^2+\dfrac1x-2e^{1-x}-3\ln x\)。

\(g'(x)=2x-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac3x+2e^{1-x}\)，\(g''(x)=2+\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{3}{x^2}-2e^{1-x}\)。

\(x\ge 1\) 时，\(g''(x)> 2-2e^{1-1}=0\)；\(x<1\) 时，\(g''(x)>2+2+3-2e>0\)，所以 \(g''(x)>0\)，\(g'(x)\) 单调递增，\(g'(1)=0\)，所以 \(g(x)\ge g(1)=0\)，证毕。

综上，\(a\ge -2\)。

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当 \(a=-2\) 时，\(f(x)=x^2+\dfrac{1}{x}-2e^{1-x}\)，\(f'(x)=2x-\dfrac{1}{x^2}+2e^{1-x}\)，\(f''(x)=2+\dfrac{2}{x^3}-2e^{1-x}=2+\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{2}{e^{x-1}}\ge 2+\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{2}{x}\)，当 \(x\ge 1\) 时，\(f''(x)\ge 2-\dfrac{2}{1}=0\)，当 \(x<1\) 时，\(f''(x)\ge \dfrac{2}{x^3}-\dfrac{2}{x}\ge 0\)，所以 \(f''(x)\ge 0\)，且 \(f'(1)>0\)，\(f(1)=0\)，所以 \(f(x)\) 图象：

由 \(0<s<1<t\)，\(f(s)+f(t)=0\) 可得，\(f(s)<0\)，\(f(t)>0\)。

下证：\(f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)\ge 0\)。

\(f(x)=x^2+\dfrac{1}{x}-2e^{1-x}=x^2+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{e^{x-1}}\ge x^2+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x}=x^2-\dfrac{1}{x}\)。

\(f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)\ge x^2-x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\)。

令 \(u=x+\dfrac1x\ge 2\)，则 \(f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)\ge u^2-2-u=(u+1)(u-2)\ge 0\)，当且仅当 \(x=1\) 时取等。

所以 \(f(s)+f\left(\dfrac1s\right)>0\Rightarrow f\left(\dfrac1s\right)>-f(s)=f(t)\Rightarrow \dfrac1s>t\Rightarrow st<1\)。

又有 \(f\left(\dfrac1s\right)+f\left(\dfrac1t\right)>f(t)+f\left(\dfrac1t\right)>0>f(st)\)，所以证毕。