小作业 21

设正实数数列 \(\{a_n\}\) 满足 \({a_{n+1}}^2+a_n a_{n+2}\le a_n+a_{n+2}\)，证明：\(a_{2022}\le 1\)。

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\[a_{n+1}^2\le a_n+a_{n+2}-a_n a_{n+2} \]

\[a_{n+1}^2-1\le a_n+a_{n+2}-a_n a_{n+2}-1 \]

\[(a_{n+1}-1)(a_{n+1}+1)\le (1-a_n)(a_{n+2}-1) \]

当 \(n>1\) 时：

假设 \(a_{n+1}>1\)，根据对称性，不妨设 \(a_{n+2}>1\)，\(a_n<1\)。

又因为 \(1-a_n<1<a_{n+1}+1\)，所以有 \(a_{n+2}-1>a_{n+1}-1\)。

\[(a_{n+2}-1)(a_{n+2}+1)\le (1-a_{n+3})(a_{n+1}-1) \]

\(a_{n+3}<1\)，\(1-a_{n+3}<1<a_{n+2}+1\)，\(a_{n+1}-1<a_{n+2}-1\)，所以左式 \(>\) 右式，矛盾。

令 \(n=2021\)，原命题得证。