小作业 20

设无穷实数数列 \({a_n}\) 满足 \(0\le a_i\le c\)，且任意 \(i\neq j\) 有 \(|a_i-a_j|\ge\dfrac{1}{i+j}\)。证明：\(c\ge 1\)。

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对于 \(a_1,\ldots,a_n\)，令 \(p\) 为 \(1\sim n\) 的排列，设 \(a_{p_1}\le a_{p_2}\le \ldots a_{p_n}\)。

则 \(\displaystyle a_{p_n}\ge a_{p_1}+\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{1}{p_i+p_{i+1}}\ge \sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{1}{p_i+p_{i+1}}\)。

令 \(\displaystyle S=\sum_{i=1}^{n-1}p_i+p_{i+1}\)，则 \(S=n(n+1)-p_1-p_n\le n(n+1)\)。

由权方和不等式得：

\[\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{1}{p_i+p_{i+1}}\ge \dfrac{{(n-1)}^2}{S}\ge \dfrac{{(n-1)}^2}{n(n+1)}\ge{\left(\dfrac{n-1}{n+1}\right)}^2 \]

假设 \(c<1\)，则取 \(n\) 满足 \(\dfrac{n-1}{n+1}>\sqrt c\)，即 \(n>\dfrac{2}{1-\sqrt c}-1\) 即可推出矛盾，故 \(c\ge 1\)。