小作业 19

证明：\(\forall a,b,c>0\)，\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac32\)。

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令 \(S=a+b+c\)，即证：

\[\dfrac{a}{S-a}+\dfrac{b}{S-b}+\dfrac{c}{S-c}\ge\dfrac32 \]

即证：

\[S\left(\dfrac{1}{S-a}+\dfrac{1}{S-b}+\dfrac{1}{S-c}\right)-3\ge\dfrac32 \]

由权方和不等式得：

\[\dfrac{1}{S-a}+\dfrac{1}{S-b}+\dfrac{1}{S-c}\ge\dfrac{{\left(\sqrt1+\sqrt1+\sqrt1\right)}^2}{3S-a-b-c}=\dfrac{9}{2S} \]

所以：

\[S\left(\dfrac{1}{S-a}+\dfrac{1}{S-b}+\dfrac{1}{S-c}\right)-3\ge S\cdot\dfrac{9}{2S}-3=\dfrac92-3=\dfrac32 \]