强基计划不等式学习

0. 证明：\(\forall a,b,c>0\)，\(a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\ge a+b-2\sqrt{ab}\)。

即证：\(c+2\sqrt{ab}\ge 3\sqrt[3]{abc}\)。

由基本不等式得：\(c+2\sqrt{ab}=c+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}\ge 3\sqrt[3]{abc}\)。

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1. 已知 \(x,y,z\) 满足 \(x+y+z=1\)，求 \(x^2+4y^2+9z^2\) 的最小值。

由柯西不等式得：\((x^2+4y^2+9z^2)\left(1+\dfrac14+\dfrac19\right)\ge {(x+y+z)}^2=1\Rightarrow x^2+4y^2+9z^2\ge \dfrac{36}{49}\)。

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2. 设实数 \(x,y\) 满足 \(x^2+2xy-1=0\)，求 \(x^2+y^2\) 的最小值。

由基本不等式得：\(x^2+y^2=\dfrac{\sqrt5-1}{2}x^2+\left(\dfrac{3-\sqrt5}{2}x^2+y^2\right)\ge \dfrac{\sqrt5-1}{2}x^2+(\sqrt5-1)xy=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\)。

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3. \(a>b>0\)，求 \(a+\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{1}{a-b}\) 的最小值。

令 \(m=a+b\)，\(n=a-b\)，则原式等于 \(\dfrac{m}{2}+\dfrac{n}{2}+\dfrac{4}{m}+\dfrac{1}{n}\ge 2\sqrt2+2\sqrt{\dfrac12}=3\sqrt2\)。

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4. 若 \(a,b,c\) 为非负实数，且 \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=25\)，求 \(a+b+c\) 的最小值。

\({(a+b+c)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=25+3ab+3bc+3ac\ge 25\)。

\(a+b+c\ge 5\)，当 \(a=5,b=0,c=0\) 时可以取等。

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5. 已知实数 \(a,b,c\) 满足 \(a+b+c=1\)，求 \(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\) 的最大值和最小值的乘积。

令 \(f(x)=\sqrt x\) 为上凸函数，由琴声不等式得：\(f(7)\le f(4a+1)+f(4b+1)+f(4c+1)\le 3f\left(\dfrac{4a+4b+4c+3}{3}\right)=3f\left(\dfrac73\right)\)。

最大值为 \(\sqrt{21}\)，最小值 \(\sqrt7\)，乘积为 \(7\sqrt3\)。

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6. 设 \(a,b\) 均为正实数，求满足不等式 \(\sqrt{x^2-\sqrt2 ax+a^2}+\sqrt{x^2-\sqrt2 bx+b^2}\le \sqrt{a^2+b^2}\) 的 \(x\) 的取值范围。

根据几何意义，\(\sqrt{x^2-\sqrt2 ax+a^2}+\sqrt{x^2-\sqrt2 bx+b^2}=\sqrt{{\left(x-\dfrac{\sqrt2}{2}a\right)}^2+{\left(\dfrac{\sqrt2}{2}a\right)}^2}+\sqrt{{\left(x-\dfrac{\sqrt2}{2}b\right)}^2+{\left(\dfrac{\sqrt2}{2}b\right)}^2}\)，即 \((x,0)\) 与 \(A\left(\dfrac{\sqrt2}{2}a,\dfrac{\sqrt2}{2}a\right)\) 的距离和 \((x,0)\) 与 \(B\left(\dfrac{\sqrt2}{2}b,-\dfrac{\sqrt2}{2}b\right)\) 的距离之和。

所以上式 \(\ge|AB|=\sqrt{a^2+b^2}\)，从而上式 \(=\sqrt{a^2+b^2}\)，解得：\(x=\dfrac{\sqrt2 ab}{a+b}\)。

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7. 已知正实数 \(x,y\) 满足 \(\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{y}=1\)，求 \(\sqrt{x^2+y^2}\) 的最小值。

法一：三角还原+求导

令 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)，则 \(r=\dfrac{8\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}\)，\(\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)。

令 \(f(\theta)=\dfrac{8\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}\)，则 \(f'(\theta)=\dfrac{8\sin^3\theta-\cos^3\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta}\)，令 \(f'(\theta)=0\Rightarrow \begin{cases}\sin\theta=\dfrac{\sqrt5}{5}\\\cos\theta=\dfrac{2\sqrt5}{5}\end{cases}\)，\(f(\theta)_{\min}=5\sqrt5\)。

综上，\(\sqrt{x^2+y^2}\) 的最小值为 \(5\sqrt5\)。

法二：柯西不等式+配凑系数

\((x^2+y^2)(\lambda^2+1)\ge{(\lambda x+y)}^2\)

\((\lambda x + y)\left(\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge {(\sqrt{8\lambda}+1)}^2\)

取等条件分别为 \(x=\lambda y\) 和 \(x=\sqrt{\dfrac{8}{\lambda}} y\)，令 \(\lambda = \sqrt{\dfrac{8}{\lambda}}\)，解得：\(\lambda = 2\)。

因此 \((x^2+y^2)(2^2+1^2)\ge {(2x+y)}^2\ge{(4+1)}^4\)，\(\sqrt{x^2+y^2}\ge 5\sqrt 5\)，当且仅当 \(x=10,y=5\) 时取等。

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8. 若实数 \(a,b,c,d\) 满足 \(ab+bc+cd+da=1\)，求 \(a^2+2b^2+3c^2+4d^2\) 的最小值。

\(ab+bc+cd+da=1\Rightarrow (a+c)(b+d)=1\)。

\(a^2+2b^2+3c^2+4d^2=(a^2+3c^2)\left(\dfrac34+\dfrac14\right)+(2b^2+4d^2)\left(\dfrac23+\dfrac13\right)\ge \dfrac34{(a+c)}^2+\dfrac43(b+d)^2\ge2(a+c)(b+d)=2\)，当且仅当 \(a=3c,b=2d,\dfrac34(a+c)=\dfrac43(b+d)\) 时取等，故 \(a^2+2b^2+3c^2+4d^2\) 的最小值为 \(2\)。