小作业 18

已知 \(x_1,x_2\in\mathbb{R}\)，若对任意的 \(x_2-x_1\in S\)，\(f(x_2)-f(x_1)\in S\)，则有定义：\(f(x)\) 是在 \(S\) 关联的。
证明：\(f(x)\) 是 \(\{1\}\) 关联的，且是在 \([0,+\infty)\) 关联的，当且仅当“\(f(x)\) 在 \([1,2]\) 是关联的”。

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\(f(x)\) 是 \(\{1\}\) 关联的，且是在 \([0,+\infty)\) 关联的 \(\Rightarrow\) \(f(x)\) 在 \([1,2]\) 是关联的

即 \(f(x+1)-f(x)=1\) 且 \(f(x)\) 非严格递增。

对于任意 \(x_2-x_1\in[1,2]\)，由于 \(f(x_1+1)-f(x_1)=1\)，\(f(x_1+2)-f(x_1)=2\)，\(f(x_2)\in[f(x_1+1),f(x_1+2)]\)，所以 \(f(x_2)-f(x_1)\in[1,2]\)。

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\(f(x)\) 是 \(\{1\}\) 关联的，且是在 \([0,+\infty)\) 关联的 \(\Leftarrow\) \(f(x)\) 在 \([1,2]\) 是关联的

对于 \(\forall x\)，\(f(x+1)-f(x)\ge 1\)，\(f(x+2)-f(x+1)\ge 1\)，\(f(x+2)-f(x)\le 2\)，只能有 \(f(x+2)-f(x)=2\)，\(f(x+1)-f(x)=1\)，\(f(x+2)-f(x+1)=1\)。

因为 \(f(x+1)=f(x)+1\)，所以证明 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上非严格递增，即证 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上非严格递增。

对于任意 \(0\le x_1<x_2\le 1\)，有 \(f(x_2+1)-f(x_1)\ge 1\) 且 \(f(x_2+1)=f(x_2)+1\)，所以 \(f(x_2)-f(x_1)\ge 0\)。