小作业 17

已知双曲线 \(E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0\)，\(b>0\)）的一个顶点在直线 \(l:y=x+1\) 上，且其离心率为 \(\sqrt5\)。

1. 求双曲线 \(E\) 的标准方程。
2. 若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐*线不*行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点。已知 \(T\) 在直线 \(l\) 上，且过点 \(T\) 恰好可作双曲线 \(E\) 的两条切线，设这两条切线的切点分别为 \(P\)，\(M\)。
   i. 设点 \(T\) 的横坐标为 \(t\)，求实数 \(t\) 的取值范围；
   ii. 设直线 \(TP\) 和直线 \(TM\) 分别与直线 \(x=-1\) 交于点 \(Q\) 和点 \(N\)，求证：直线 \(PN\) 和直线 \(MQ\) 的交点在定直线上。

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\(1.\)
\(E:x^2-\dfrac{y^2}{4}=1\)

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\(2.1.\)
\(T(t,t+1)\)，则 \(PM:xt-\dfrac{y(t+1)}{4}=1\)，即 \(PM:x=\dfrac{(t+1)y}{4t}+\dfrac{1}{t}\)，与 \(E\) 联立得：\(\left[\dfrac{(t+1)^2}{4t^2}-1\right]y^2+\dfrac{2(t+1)}{t^2}y+\dfrac{4}{t^2}-4=0\)。

即 \((1+3t)(1-t)y^2+8(t+1)y+16(1-t)(1+t)=0\)，方程有两个解。

\((1+3t)(1-t)\neq 0\)，所以 \(t\neq -\dfrac13\) 且 \(t\neq 1\)。

\(\Delta=64(t+1)^2-64(1-t)^2(1+t)(1+3t)=64(t+1)t^2(5-3t)>0\)，所以 \(t\neq 0\) 且 \(t\in\left(-1,\dfrac53\right)\)。

当 \(t=0\) 时，\(PM:y=-4\)，与 \(E\) 显然有两个交点。

综上，\(t\in\left(-1,-\dfrac13\right)\cup\left(-\dfrac13,1\right)\cup\left(1,\dfrac53\right)\)。

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\(2.2.\)
*移 \((1,0)\)，则 \(E:(x-1)^2-\dfrac{y^2}{4}=1\Rightarrow 4x^2-8x-y^2=0\)，\(PM\) 过定点 \((0,-4)\)。

设 \(P(x_1,y_1)\)，\(M(x_2,y_2)\)，\(k_1=\dfrac{y_1}{x_1}\)，\(k_2=\dfrac{y_2}{x_2}\)，则联立得 \(P\left(\dfrac{8}{4-{k_1}^2},\dfrac{8k_1}{4-{k_1}^2}\right)\)，\(M\left(\dfrac{8}{4-{k_2}^2},\dfrac{8k_2}{4-{k_2}^2}\right)\)，且 \(Q\left(0,-\dfrac{4}{k_1}\right)\)，\(N\left(0,-\dfrac{4}{k_2}\right)\)。

齐次化得：\(k_1+k_2=2\)。

\(PN:y=\left(\dfrac32k_1+1\right)x-\dfrac{4}{k_2}\)
\(MQ:y=\left(\dfrac32k_2+1\right)x-\dfrac{4}{k_1}\)

交点坐标：\(\left(\dfrac{8}{3k_1k_2},\dfrac{8}{3k_1k_2}\right)\)。

所以交点在直线 \(y=x\) 上，则*移前交点在直线 \(y=x+1\) 上。