2024 广东月考

已知椭圆 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的离心率为 \(\dfrac12\)，左焦点为 \(F\)，点 \(A(-2,0)\) 在 \(C\) 上。过 \(F\) 且斜率为 \(k\)（\(k\neq 0\)）的直线 \(l\) 交 \(C\) 于 \(M\)，\(N\) 两点（\(M\) 在 \(N\) 的上方）。

1. 求 \(C\) 的方程；
2. 若 \(k=1\)，求 \(\dfrac{|MF|}{|NF|}\)；
3. 若 \(\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MA}\)，直线 \(PN\) 交 \(x\) 轴于点 \(T\)，求 \(|AT|\) 的取值范围。

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\(1.\)

\(C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)

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\(2.\)

\(|MF|=\dfrac{b^2}{a-c\cos\theta}=\dfrac{3}{2-\dfrac{\sqrt2}{2}}\)
\(|NF|=\dfrac{b^2}{a+c\cos\theta}=\dfrac{3}{2+\dfrac{\sqrt2}{2}}\)
\(\dfrac{|MF|}{|NF|}=\dfrac{9+4\sqrt2}{7}\)

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\(3.\)

设 \(M(x_1,y_1)\)，根据和积关系，\(N\left(\dfrac{-5x_1-8}{2x_1+5},\dfrac{-3y_1}{2x_1+5}\right)\)，且 \(P(3x_1+4,3y_1)\)。

则 \(x_T=\dfrac{\dfrac{-5x_1-8}{2x_1+5}\cdot 3y_1+\dfrac{3y_1}{2x_1+5}\cdot(3x_1+4)}{3y_1+\dfrac{3y_1}{2x_1+5}}=\dfrac{-x_1-2}{x_1+3}\)。

\(x_1\in(-2,-1)\cup(-1,2)\)，所以 \(x_T=-1+\dfrac{1}{x_1+3}\in\left(-\dfrac45,-\dfrac12\right)\cup\left(-\dfrac12,0\right)\)。

\(|AT|\in\left(\dfrac65,\dfrac32\right)\cup\left(\dfrac32,2\right)\)。