数列小练习

已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=2\)，且对任意正整数 \(n\) 有

\[a_{n+1}={a_n}^2-a_n+1 \]

证明：对于任意正整数 \(n\)，

\[\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}<1. \]

---

\[a_{n+1}-1=a_n(a_n-1)\\ \frac{1}{a_{n+1}-1}=\frac{1}{a_n(a_n-1)}=\frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_n}\\ \frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_{n+1}-1} \]

数学归纳法易证，\(\forall n\in\mathbb{N}^*,a_n>1\)。

\[\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{a_k-1}-\frac{1}{a_{k+1}-1}\right)=1-\frac{1}{a_{n+1}-1}<1 \]