直线学习笔记

1. 直线的倾斜角和斜率

对于直线 \(l\)，从 \(x\) 轴开始，以某个点为中心，逆时针旋转 \(\alpha\) 后得到 \(l\)，那么我们把 \(\alpha\) 称为 \(l\) 的倾斜角。特别地，如果 \(l\) 和 \(x\) 轴平行，那么倾斜角为 \(0\)。直线的倾斜角 \(\in[0,\pi)\)。

如果直线 \(l\) 的倾斜角 \(\alpha\neq\dfrac{\pi}{2}\)，那么 \(l\) 的斜率 \(k=\tan\alpha\)。特别地，垂直 \(x\) 轴的直线没有斜率。

两条有斜率的直线平行，则两条直线的斜率相等。

两条直线斜率相等，则两条直线平行或者重合。

两条有斜率的直线垂直，等价于两条直线斜率相乘等于 \(-1\)。

做题时需要注意直线垂直 \(x\) 轴的特殊情况。

2. 直线的方程

2.1. 点斜式

给定直线 \(l\) 经过的一个点 \((x_1,y_1)\)，和直线 \(l\) 的斜率 \(k\)。

那么对于直线 \(l\) 上的一个点 \((x,y)\)，有 \((y-y_1)=k(x-x_1)\)，这个被称为直线的点斜式。

知道经过直线的一个点以及这条直线的斜率时，考虑使用点斜式。

2.2. 两点式

给定直线 \(l\) 经过的两个不同的点 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\)。

那么可以算出斜率 \(k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)，然后套用点斜式，\((y-y_1)=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)，这个被称为直线的两点式。

知道经过直线的两个点时，考虑使用两点式。

2.3. 一般式

前面两种方程都没有考虑垂直 \(x\) 轴的情况。

对于更加一般的直线，可以用方程 \(Ax+By+C=0\) 表示。

3. 交点坐标与距离公式

交点坐标还是列二元一次方程组求解。

3.1. 点到直线的距离公式

给定点 \(P(x_0,y_0)\) 以及直线 \(Ax+By+C=0\)，需要计算点 \(P\) 到直线的距离。

直接过 \(P\) 作 \(Ax+By+C=0\) 的垂线，算出交点，再算出距离，计算量太大了，这里介绍一种更简单的推导方法。

小结论：对于直线 \(Ax+By+C=0\)，向量 \((A,B)\) 垂直于这条直线。

那么找到垂直于直线的向量 \(\vec{n}=(A,B)\)，然后随便找到直线上的一点 \(Q(x_1,y_1)\)。根据点积的几何意义，有 \(P\) 到直线的距离等于 \(\dfrac{|\vec{PQ}\cdot\vec{n}|}{\vec{n}}=\dfrac{|A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。

因为 \(Q\) 在直线上，所以 \(Ax_1+By_1=-C\)，代换可得距离等于 \(\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。

3.2. 平行线之间的距离公式

两条平行线 \(Ax+By+C_1=0\) 和 \(Ax+By+C_2=0\) 之间的距离，通过点到直线距离公式推导，设 \(Ax+By+C_1=0\) 上的一点 \((x_0,y_0)\)，它到 \(Ax+By+C_2=0\) 的距离为 \(\dfrac{|Ax_0+By_0+C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，又有 \(Ax_0+By_0=-C_1\)，所以两条平行线距离为 \(\dfrac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。