小作业 5（比值代换）

刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容，曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。若记 \(\displaystyle f''(x)=\left[f'(x)\right]'\)，则函数 \(y=f(x)\) 在点 \(P(x_0,y_0)\) 处的曲率 \(\displaystyle k=\frac{|f''(x)|}{{\left[1+{\left(f'(x_0)\right)}^2\right]}^{\frac32}}\)。

（I）求曲线 \(y=\ln x\) 在点 \((1,0)\) 处的曲率；
（II）已知函数 \(g(x)=x^2\ln x-\dfrac{a}{3}x^3-\dfrac32x^2,a\in\left(0,\dfrac1e\right)\)，若存在 \(x_1\)，\(x_2\) 使得 \(g(x)\) 的曲率为 \(0\)，求证：\(2\ln x_1+\ln x_2>\dfrac83\)。

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(I)

\(f(x)=\ln x\)，\(f'(x)=\dfrac1x\)，\(f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}\)。

\(\displaystyle k=\frac{|f''(1)|}{{\left[1+{\left(f'(1)\right)}^2\right]}^{\frac32}}=\frac{1}{2\sqrt 2}=\frac{\sqrt2}{4}\)。

(II)

\(g(x)\) 曲率为 \(0\) 当且仅当 \(g''(x)=0\)。

\(g'(x)=x+2x\ln x-ax^2-3x\)。

\(g''(x)=2\ln x-2ax=2(\ln x-ax)\)。

令 \(h(x)=\ln x-ax\)，则 \(g(x)\) 曲率为 \(0\) 当且仅当 \(h(x)=0\)。

\(h'(x)=\dfrac1x-a\) 单调递减，\(h'\left(\dfrac1a\right)=0\)，所以 \(h(x)\) 先增后减，在 \(\dfrac1a\) 处取得最大值。由于 \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}h(x)=-\infty,\lim_{x\to+\infty}h(x)=-\infty,h\left(\dfrac1a\right)=\ln\dfrac1a-1>0\)，所以 \(h(x)\) 存在两个零点 \(x_1\in\left(0,\dfrac1a\right),x_2\in\left(\dfrac1a,+\infty\right)\)。

\(\ln x_1=ax_1,\ln x_2=ax_2\)，所以令 \(\dfrac{\ln x_2}{\ln x_1}=\dfrac{x_2}{x_1}=t\)，有 \(t>1\)，解得 \(\ln x_1=\dfrac{\ln t}{t-1},\ln x_2=\dfrac{t\ln t}{t-1}\)。

需要证明 \(2\ln x_1+\ln x_2>\dfrac83\)，即证 \(\dfrac{2\ln t}{t-1}+\dfrac{t\ln t}{t-1}>\dfrac83\)，即证 \(\dfrac{(t+2)\ln t}{t-1}>\dfrac83\)，即 \(3(t+2)\ln t-8(t-1)>0\)。

令 \(f(t)=3(t+2)\ln t-8(t-1)\)，即证 \(t>1\) 时 \(f(t)>0\)。

\(f'(t)=\dfrac6t+3\ln t-5\)。

\(f''(t)=-\dfrac{6}{t^2}+\dfrac{3}{t}=\dfrac{3t-6}{t^2}\)。

\(f''(t)\) 在 \(t\in (1,2)\) 时 \(<0\)，在 \(t=2\) 时 \(=0\)，在 \(t>2\) 时 \(>0\)，所以 \(f'(t)\) 在 \((1,+\infty)\) 内，先减后增，并在 \(t=2\) 处取到最小值，而 \(f'(2)=3\ln 2-2>0\)，所以 \(f'(t)\) 在 \((1,+\infty)\) 内 \(>0\)，所以 \(f(t)\) 在 \((1,+\infty)\) 内单调递增。

\(f(t)>f(1)=0\)，原命题得证。