小作业 4（极值点偏移）

已知函数 \(f(x)=(x-2)e^x+a{(x-1)}^2\) 有两个零点。

（1）求 \(a\) 的取值范围。
（2）设 \(x_1,x_2\) 是 \(f(x)\) 的两个零点，证明：\(x_1+x_2<2\)。

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（1）

\(f'(x)=(x-2)e^x+e^x+2a(x-1)=(e^x+2a)(x-1)\)。

当 \(a>0\) 时，\(e^x+2a>0\)，当 \(x<1\) 时 \(f'(x)<0\)，当 \(x>1\) 时 \(f'(x)>0\)，此时 \(x=1\) 为 \(f(x)\) 的最小值点，\(f(1)=-e\)。\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty-0=+\infty,\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty+\infty=+\infty\)（懒得找点了，呜呜）。所以此时 \(f(x)\) 存在两个零点。

当 \(a=0\) 时，其余分析同上，但是 \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-0<0\)，所以此时 \(f(x)\) 只存在一个零点。

当 \(a<0\) 时，分类讨论发现 \(f(x)\) 只能存在一个或者三个零点，不符合题意。

所以 \(a\) 的取值范围是 \((0,+\infty)\)。

(2)

令 \(x_1<x_2\)，有 \(x_1<1\) 且 \(x_2>1\)。

需要证明 \(x_1+x_2<2\)，即证 \(x_1<2-x_2\)，\(2-x_2<1\)，\(f(x)\) 在 \((-\infty,1]\) 上单调递减，即证 \(f(x_2)=f(x_1)>f(2-x_2)\)。

问题转化为，证明 \(\forall x>1,f(x)>f(2-x)\)。

令 \(g(x)=f(x)-f(2-x)\)，需要证明 \(x>1\) 时，\(g(x)>0\)。

\(g'(x)=(x-1)e^x+2a(x-1)+(1-x)e^{2-x}+2a(1-x)=(x-1)(e^x-e^{2-x})\)。

\(x>1\) 所以 \(x-1>0\)，并且 \(x>2-x\) 所以 \(e^x-e^{2-x}>0\)，所以 \(g'(x)>0\)，所以 \(g(x)>g(1)=0\)，原命题得证。